淺談不等式恒成立問題

余知才

不等式恒成立問題在近幾年高考以及各種考試中經常出現，這類問題既含參變量又含自變量，往往與函數、數列、方程、幾何有機結合起來，具有形式靈活、思維性強、知識交匯點多等特點，考題主要有以下兩種方式：一是證明某個不等式恒成立，二是已知某個不等式恒成立，求其中的參數的值或取值范圍。解決這類問題的關鍵是轉化，通過轉化到函數求其最值來處理。而等價轉化過程往往滲透著換元、化歸、數形結合、分類討論、函數與方程等數學思想方法，其常用方法主要有：更換主元法、零點分布法、分離參數法、數形結合法、最值法、消元轉化策略等，我結合解題教學實踐舉例說明幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，以拋磚引玉。

在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當的函數，利用函數的圖象和性質解決問題，同時注意在一個含多個變量的數學問題中，需要確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題更加明朗化。

例1、已知對于任意的∈[-1，1]，函數（）=+（2-4）+3->0 恒成立，求的取值范圍。

點評：對于含有兩個參數，且已知一參數的取值范圍，可以通過變量轉換，構造以該參數為自變量的函數，利用函數圖象求另一參數的取值范圍。

點評：對于含參數的函數在閉區間上函數值恒大于等于零的問題，可以考慮函數的零點分布情況，要求對應閉區間上函數圖象在軸的上方或在軸上就行了。

當不等式中的參數（或關于參數的代數式）能夠與其它變量完全分離出來，且分離后不等式另一邊的函數（或代數式）的最值可求時，常用分離參數法.

不等式恒成立問題，因題目涉及知識面廣，解題方法靈活多樣，技巧性強，難度大等特點，要求有較強的思維靈活性和創造性，較高的解題能力，上述方法是比較常用的，但因為問題形式千變萬化，考題亦?？汲Ｐ?，因此在備考的各個階段都應滲透恒成立問題的教與學，在平時的訓練中不斷領悟和總結，教師也要介入心理輔導和思想方法指導，從而促使學生在解決此類問題的能力上得到改善和提高。