平底蛋形斷面隧洞正常水深直接計算方法

牛坤　華強

摘要：平底蛋形斷面具有施工相對簡單、適應性強的特點，但斷面形狀較復雜，正常水深計算需要求解超越方程，計算過程繁瑣且無法直接求解。利用面積分割法計算出普通平底蛋形斷面的水力要素方程，得到3種典型斷面的過水斷面面積、濕周和水深方程。根據正常水深基本方程和優化擬合理論，推導出求解3種平底蛋形典型斷面正常水深超越方程的直接簡化計算公式，并進行公式精度分析。結果表明，直接簡化計算公式具有形式簡單、計算方便、精度高的特點，在適用范圍內正常水深相對誤差最大值僅為0.34%。

關鍵詞：平底蛋形斷面;水力要素;正常水深;直接計算

中圖分類號：TV133

文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn. 1000 - 1379.2019. 04.021

正常水深是明渠水流計算中的重要參數，其傳統計算方法主要有試算法、迭代法和查圖法等[1]，計算過程繁瑣且一般無法直接求解。對于常見無壓隧洞如城門洞形、馬蹄形等斷面形式的正常水深計算研究，通過采用擬合優化或迭代算法，已取得了較為實用的成果[2-5]。無壓蛋形斷面隧洞是排灌工程采用的斷面形式之一，結構受力條件良好，水力性能優越，適用于地質條件差、山巖壓力大的地質環境。對于普通的六圓弧和四圓弧蛋形斷面，文獻[6-9]推導出水力要素表達式，并給出了正常水深的直接計算公式。

平底蛋形斷面作為《水工設計手冊》[10]推薦的無壓水工隧洞專用斷面之一，將普通六圓弧蛋形斷面的反拱圓弧底調整為平底板，降低了施工難度，具有較好的應用前景。目前，對于平底蛋形斷面的水深計算未見研究成果，本文推導了平底蛋形普通斷面的水力要素表達式，分析了3種平底蛋形典型斷面正常水深隱函數方程，運用擬合優化方法獲得該斷面形式的簡化直接計算公式，為工程應用提供簡單、實用的計算方法。

1 平底蛋形普通斷面形狀特征參數

平底蛋形普通斷面由5段圓弧和底部水平直線段組成，其斷面形狀如圖l（a）所示。斷面最大寬度為b，底部水平直線段兩端為1/4圓弧段，圓弧半徑為r1;中部扇形區域由半徑為r2的兩段圓弧圍成，圓心位于斷面最大寬度處的水平線上，圓心角為θ;頂拱段圓弧半徑為r3，圓心位于斷面中心線上，對應的圓心角為π一2θ。

2 平底蛋形斷面水力要素計算

2.1 平底蛋形普通斷面水力要素

根據平底蛋形普通斷面的形狀特征，不同水深處的過水斷面面積A由兩側扇形區、中部矩（梯）形區組合而成，斷面水力計算參數如圖l（b）所示，則過水斷面面積

2.2 平底蛋形典型斷面水力要素

無壓隧洞斷面高寬比一般在1.0 - 1.5之間，《水工設計手冊》[10]給出了3種常用的平底蛋形典型斷面形狀特征參數，見表1。I型、Ⅱ型和Ⅲ型斷面的最大寬度均為6，高寬比分別為1.0、1.2、1.4，中部扇形區域圓弧半徑與斷面寬度的比值分別為1.0、1.5、2.0。3種斷面隨著高寬比的增大，斷面向“瘦高形”變化，頂拱圓心角越小，越適用于垂直地應力（豎向荷載）大的場合。

3 平底蛋形斷面正常水深計算

3.1 平底蛋形斷面正常水深的理論計算

平底蛋形斷面正常水深的計算采用明渠均勻流基本方程，即

將表2中3種平底蛋形典型斷面的水力參數計算公式代人式（4），整理可得不同水深范圍的正常水深求解方程。限于篇幅，僅給出I型斷面的正常水深求解方程，Ⅱ型、Ⅲ型求解方程類似。

由式（5）可知，平底蛋形典型斷面的正常水深方程均為關于圓心角與已知量綜合參數的一元方程。式（5）為超越方程，無法直接求解計算，一般通過間接迭代法或試算法求解，計算過程較為復雜。

3.2 平底蛋形典型斷面正常水深的直接計算式推求

關于無壓隧洞無量綱正常水深x的取值范圍，理論上為0≤x≤H/b，在工程實際中，對于x<0.05的較小過流情況，正常水深計算的實際意義不大。同時現行規范[11]規定，無壓隧洞應避免運行中出現明滿流交替狀態，要求頂部凈空面積不小于整個隧洞斷面面積的15%。經試算求得XI≤0.75、xII≤0.90、xIII≤1.05，無量綱正常水深均位于斷面頂拱以下區域內，相應的無量綱綜合參數Y1∈[0.040 5，0.477 2]、yII∈[0.040 9.0.541 5]、yⅢ∈[0.038 1，0.608 5].

在x取值范圍內以一定的步長值給定一組數值，將其代人式（6）的αβ表達式中，再將求出的αβ值代人式（5），即可求得相應的無量綱綜合參數y值。運用Curve Expert軟件，對散點（y、x）進行擬合分析，得到無量綱正常水深的直接計算公式。I型斷面公式為

4 公式精度分析

為分析擬合公式的正確性及誤差分布情況，以I型斷面為例進行精度分析。首先在XI∈[0.05，0.75]的范圍內給定不同的x值，由式（6）求出α、β值，再將其代人式（5），求出相應的y值，把y值代人式（7）即可求出x的近似值x，從而計算準確值x的相對誤差，同理可得出Ⅱ型和Ⅲ型斷面擬合公式（8）、公式（9）的誤差分布情況，具體結果見圖2。

由圖2可知，正常水深直接計算公式在適用范圍內的相對誤差圍繞無量綱水深x呈正負小幅波動，相對誤差均較小，大部分區域相對誤差在±0.1%之間，最大相對誤差不超過0.34%。表明上述正常水深直接計算公式可滿足工程需要，是3種平底蛋形典型斷面正常水深計算的高精度簡便方法。

5 應用舉例

某水庫泄洪隧洞擬采用平底蛋形斷面，斷面最大寬度6= 8.4 m，隧洞表面糙率n=0.015.隧洞比降江0.014，設計流量為460 m/s，校核流量為580 m/s，分別計算采用I、Ⅱ、Ⅲ型斷面時的隧洞正常水深。

經計算得：采用I型斷面時，正常水深數值解分別為4.342、5.362 m，相對誤差分別為-0.1 12%、0.122%;采用Ⅱ型斷面時，正常水深數值解分別為4.293、5.206m，相對誤差分別為-0.074%.-0. 116%：采用Ⅲ型斷面時，正常水深數值解分別為4. 311、5.157 m，相對誤差分別為0.068%、- 0.083%。可見，擬合公式精度滿足工程需要。

6 結論

根據明渠均勻流基本方程，推導了平底蛋形斷面的水力要素表達式，研究了其正常水深的計算方法，通過擬合優化計算，給出了3種平底蛋形典型斷面正常水深的直接簡化計算公式。通過算例驗證了正常水深直接計算公式的準確性，與理論值比較，其最大相對誤差僅為0.34%。直接計算公式形式簡單、計算方便，精度完全滿足工程應用要求，便于工程設計應用。

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【責任編輯張華巖】