函數與方程思想在高中數學解題中的應用

許福生

函數與方程思想是高中數學解題中的基本思想，函數是運用一動一變的思想，分析和研究數學中的變量關系，通過構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉換問題、解決問題;方程思想則是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型，通過解方程組或不等式組使問題獲得解決。

一、函數與方程思想密不可分

函數與方程是兩個不同的概念，看似沒有交集，實則密切相關。在高中數學解題中函數與方程應用最廣泛的是方程的根與函數的零點，方程f（x）=0的實數根就是函數y= f（x）的零點，即y= f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標。即：方程f（x）=0有實數根[?]函數y= f（x）的圖像與x軸有交點[?]函數y= f（x）有零點。

二次函數y=ax2+bx+c（a[≠]0）的零點：1.若[Δ]>0，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，二次函數的圖像與x軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;2.若[Δ]=0，方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根，二次函數的圖像與x軸有一個交點，二次函數有一個零點;3.[Δ]<0，方程ax2+bx+c=0無實數根，二次函數的圖像與x軸沒有交點，二次函數不存在零點。因此可以這樣說函數的解決離不開方程，方程的解決要運用函數，兩者在數學解題中發揮著重要的作用。

例：函數f（x）=x3-x2-x+1在[0，2]上有幾個零點？

解析：由于f（x）=x3-x2-x+1=（x-1） 2-（x-1） ，令f（x）=0，得到x=1，因此函數在[0，2]上只有一個零點。

例：若a>1，設函數f（x）=ax+x-4的零點為m，g（x）=logax+x-4的零點為n，則[1m+1n]的取值范圍是多少？

解析：欲求[1m+1n]的取值范圍，很容易聯想到基本不等式，于是需探討m、n之間的關系，觀察f（x）與g（x）的表達式，根據函數零點的意義，可以把題目中兩個函數的零點轉化為指數函數y=ax和對數函數y=logax與直線y=-x+4交點的橫坐標，因為指數函數y=ax和對數函數y=logax互為反函數，故其圖像關于直線y=x對稱，又因直線y=-x+4垂直于直線y=x，指數函數y=ax和對數函數y=logax與直線y=-x+4交點的橫坐標之和是直線y=x與y=-x+4的交點的橫坐標的2倍，這樣即可建立起m、n的數量關系式，進而利用基本不等式求解。

令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，在同一坐標系中畫出函數y=x與y=-x+4的交點的橫坐標的2倍，由[y=xy=-x+4]，解得x=2，所以n+m=4，因為（n+m）（ [1m+1n]）=1+1+[1m+1n]≥4，又n≠m，故（n+m）（[1m+1n] ）>4，則[1m+1n] >1。利用函數圖像交點個數及交點位置，使方程滿足其根的限制條件，是最常見的方程與函數統一的思想。

二、函數與方程思想的應用

（一）在不等式中的應用

不等式反映的是不等量的關系，往往需要用等量關系去解決，這就是方程。函數與不等式可以相互轉化，對于函數 y= f（x），當y>0 時，就轉化為不等式 f（x）>0，借助于函數的圖像與性質可以解決不等式的有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式。

例：設不等式2x-1>m（x2-1）對滿足|m|≤2的一切實數m都成立，求x的取值范圍。

分析：常見的思維定勢，易把此問題看成關于x的不等式討論，然而，若變換一個角度以m為變量，即關于m的一次不等式（x2-1）m-（2x-1）<0在[-2，2]上恒成立的問題，因此可以變為，設f（m）=（x2-1）m-（2x-1） ，則問題轉化為求一次函數f（m）的值在[-2，2]內恒為負值時參數x應滿足的條件{f（2） <0，f（-2） <0}。

解：問題變成關于m的一次不等式：（x2-1）m-（2x-1）<0在[-2，2]恒成立，設f（m）=（x2-1）m-（2x-1），

則 f（2）= 2（x2-1）-（2x-1） <0

f（-2）= -2（x2-1）-（2x-1） <0

一般地，在一個含有多個變量的數學問題中，確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題明朗化。或者在含有參數的函數中，將函數自變量作為參數，而參數作為函數更具靈活性，從而巧妙地解決問題。

（二）在數列中的應用

數列是一類特殊的函數，它的定義域是正整數集或其子集，數列的通項或前n項和就是以自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理數列問題十分重要。在運用函數的性質解決數列問題的同時，也加深了對數列概念的本質理解。

（三）在實際問題中的應用

高中數學知識不單單是對公式定理的理解，還應將所學的知識能很好地應用在實際問題中，真正地做到舉一反三，學以致用，而函數與方程思想常常運用于實際問題中。

例：某農場，可以全部種植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等農作物，且產品全部供應距農場d（km）（d<200km）的中心城市，其產銷資料如下表：當距離d達到n（km）以上時，四種農作物中以全部種植稻米的經濟效益最高（經濟效益=市場銷售價值—生產成本—運輸成本），則n的值是多少？

[ 水果 蔬菜 稻米 甘蔗 市場價格（元/kg） 8 3 2 1 生產成本（元/kg） 3 2 1 0.4 運輸成本（元/kg.km） 0.06 0.02 0.01 0.01 單位面積相對產量（kg） 10 15 40 30 ]

解析：設單位面積全部種植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的經濟效益分別為y1、y2、y3、y4，則y1=50-0.6d，y2=15-0.3d，y3=40-0.4d，y4=18-0.3d，由[y3≥y1y3≥y2y3≥y4d<200?]50≤d<200，故n=50。通過運用不等式方程組，可以很方便地解決生活中遇到的實際問題。

三、結語

由以上解題過程我們發現，只要我們勤于動腦，善于動腦，樹立起運用數學思想解題的意識，就一定會在解題中有新的發現，新的創新，從而將數學知識學活，使我們的數學解題能力不斷提高。

（責編 ?唐琳娜）