指向整體建構的小學數學教學

摘要：整體性、結構性是數學學科的本質特性。用整體建構的理念指導小學數學教學，創建結構化的數學課堂，引領學生在完善認知結構、豐富學習感受、發展思維素養的過程中，逐步地從自主走向自為，符合數學學科的本質，符合兒童數學學習的規律，符合信息時代素養教育的大方向。

關鍵詞：整體建構數學教學結構化思維發展

本文為江蘇省2017年基礎教育前瞻性教學改革實驗項目“著力思維素養的小學數學簡約教學資源建設”、全國教育科學“十三五”規劃教育部重點課題“指向整體建構的小學數學簡約教學資源建設”（編號：DHA90453）的研究成果。

一

關于數學的整體性、結構性，有不少經典論述。瑞士兒童心理學家皮亞杰早在其1968年出版的《結構主義》一書中就指出：“如果不從檢驗數學結構開始，就不可能對結構主義進行批判性的陳述。……幾乎在所有的數學領域里，并且在邏輯學里，我們都發現了群結構。”[瑞士]皮亞杰.結構主義[M].倪連生，王琳，譯.北京：商務印書館，2017：17。美國著名代數學家阿爾貝特說：“數學是結構的科學。當直覺和未經分析的經驗表明在許多不同的背景下存在著共同的結構特征時，數學就有了任務，這就是以精確的和客觀的形式系統地闡明基本的結構特征。”在《新數學教育哲學》一書中，鄭毓信教授強調：“數學對象的建構事實上是一種整體性的建構活動。或者說，數學的對象并非各個孤立的模式，而是整體性的 ‘建構’。”鄭毓信.新數學教育哲學[M].上海：華東師范大學出版社，2015：5，34。可見， 整體性、結構性是數學學科鮮明的本質特性。

順應這種特性，數學教學也把“整體”“結構”等作為重要的研究方向。美國教育學家、心理學家布魯納認為：“學生對所學材料的接受，必然是有限的。怎么能使這種（有限的）接受在他們以后一生的思想中有價值？對這個問題的回答是：不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。……掌握學科的結構以理解這個學科，可以使許多其他的東西與該學科有意義地聯系起來。簡而言之，學習結構就是學習事物是如何聯系的。”[美]布魯納.教育過程[M].邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1960：7。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程設計思路中明確要求：“為了體現義務教育數學課程的整體性，本標準統籌考慮九年的課程內容”“充分考慮數學本身的特點，體現數學的實質。”中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：4。課程標準研制專家組在解讀課程標準時也提及：“我們的課程應當使學生真正感受到數學內容本身所具有的‘整體性’——數學是統一的，許多不同內容之間存在著實質的聯系，包括內涵與方法。這樣的感受有助于學生正確地認識數學的價值、理解數學的內涵，形成應用數學解決問題的能力，發展自身的認識能力。”義務教育數學課程標準修訂組.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012：312。

在這種方向的指引下，指向整體建構的小學數學教學研究備受關注。馬立平博士在《小學數學的掌握和教學》一書中，系統論述了“知識包”“概念結”的重要價值：“在教一個知識點的時候，應該把知識看作一個包，而且要知道當前的知識在知識包中的作用。你還要知道你所教的這個知識受到哪些概念或過程的支持，所以你的教學要依賴于、強化并詳細描述這些概念的學習。當教那些將會支持其他過程的重要概念的時候，你應該特別花力氣以確保你的學生能很好地理解這些概念，并能熟練地執行這些過程。”馬立平.小學數學的掌握和教學[M].李士锜，吳穎康，等譯.上海：華東師范大學出版社，2011：17。她通過比較中美兩國數學教師的教學案例，特別提出：知識“打包”的正確方式不是固定的、嚴格唯一的。不同的教師，在不同的背景之下，或同樣的教師對不同的學生，都可能以不同的方式將知識“打包”。張衛娥老師針對“數學教材文本表達的局限性，許多數學知識之間的關系被隱藏、懸置、遮蔽起來，導致學生的數學認知被肢解、思維被固化、創造被弱化”等現實，指出：“知識體系”整體大于“知識體系”各部分之和，數學教學要用數學的“高觀點”、學習的“長任務”、教學的“大問題”來將數學知識中相同或相似乃至相對、相反的意義模塊進行統整、優化、組合，使得數學知識成為更具生長力的結構體。張衛娥.整體教學：兒童數學教學的智性建構[J].數學教學通訊，2016（28）：28。董文彬老師針對“開學第一課”提出教學建議：讓學生綜觀全冊教材，從整體上認識本學期數學學習的基本內容梗概;要在統合學習內容的基礎上幫助學生把握知識結構，建立數學關聯，立足發展兒童的整體思維，進而讓兒童在課堂上成為數學學習的先行組織者。董文彬.整體統合建構，培育數學情懷——讓兒童成為數學學習的先行組織者[J].江蘇教育研究，2017（25）：22。特級教師莊惠芬進一步拓展視野，著眼兒童數學學習的三個關鍵期：第一個是“心理敏感期”，即幼兒園與小學銜接的學習關鍵期;第二個是“成長馬鞍期”，即小學三、四年級數學學習關鍵期;第三個是“學習斷層期”，即小學與初中銜接的數學學習關鍵期，確立整體學習的教育思想，樹立兒童數學學習的整體觀念。莊惠芬.把握學習關鍵期，整體建構兒童數學學習[J].江蘇教育研究，2016（32）：7。特級教師張宏偉則提出了“全景式”數學教育主張，從內容全景、現實全景、方式全景、思維全景、歷史文化全景、目標和評價全景六個方面，把培養兒童數學素養所必需的各方面內容融合到合適的網絡系統中，嘗試構建一種“大數學教育”，努力實現由“教孩子數學”向“用數學教育孩子”的真正轉變，具有一定的開創性。詳見張宏偉在《小學數學教師》2016年第9期、第10期上關于“全景式”數學教育的連載文章。

上述研究，對豐富小學數學“整體建構”教學實踐提供了寶貴經驗。

二

指向整體建構的數學教學，簡單地講，就是基于數學知識的內在系統關聯，通過結構化教學，幫助學生完善認知體系，發展思維能力，培育思維素養，進而更好地理解數學，喜歡數學，輕松地學好數學。實施這樣的教學，需要把握三個要點。

（一）知識系統化

數學知識具有很強的內在邏輯，是整體的、系統的、結構的。而教材所遵循的“螺旋上升”的編排原則，在順應了兒童認知規律的同時，也在一定程度上削減和遮蔽了數學知識的整體性和結構性，加上分學段、年級、學期、課時組織教學，很容易導致“只見樹木不見森林”的教學問題。

要實現知識系統化，首先要對教材進行知識體系梳理。這一點看起來似乎并不難，因為在配套的教學指導用書中，都有本套教材知識體系表，按照領域、年級、學期（上下冊）列舉出所學知識點（稍顯不足的是，小學數學教師只看到小學教材的知識體系，初中數學教師只看到初中教材的知識體系，難以掌握整個義務教育階段數學知識內容的全貌）。當然，上述學習內容體系也只是一種簡單的羅列，雖然有年級序列，但彼此之間的關聯性并不緊密，特別是數學思想方法、內隱性的思維邏輯層面的關聯非常少，呈現出比較明顯的“點狀”特征。可見，梳理知識體系，更為重要的是發現并揭示其中內在的邏輯與關聯。比如，小學生初步認識“可能性”，不少教師都把重點落在用“可能”“不可能”“一定”來描述事情發生的情況，結果一節課下來，學生雖然會做題了，但對可能性的理解還是模糊不清。事實上，“可能”“不可能”“一定”這三個詞語中，“不可能”“一定”都屬于對確定事件的描述，“可能”用于隨機事件（不確定事件）的描述，它們之間的邏輯關聯如圖1所示。教學時如果只是抓住這三個詞，而不是將其置于整個知識系統中，并做系統的呈現（類似圖1這樣去板書），學生的理解勢必會“散點化”“割裂化”。

那么，如何才能有這樣的系統認識呢？筆者以為教師除了要通過專業理論學習補上本體性知識缺乏這一短板，還要“往上看一看”——對初中教材中的相關內容做深入的了解。比如，蘇科版初中數學八年級下冊《認識概率》單元，在學習“可能性的大小”之前，安排了“確定事件與隨機事件”的學習：在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會發生，這樣的事情是不可能事件（impossible event）。……在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會發生，這樣的事情是必然事件（certain event）。必然事件和不可能事件都是確定事件。

在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會不會發生，這樣的事情就是隨機事件（random event）。這個案例表明，知識系統化的關鍵在于把知識點“連成線”“組成面”“構架體”（上頁圖1中的7個箭頭，很好地將“可能性”的相關知識做了結構化的表達）。

當然，從純數學的角度看，數學知識之間有一套比較嚴格的邏輯系統。而從學習的角度看，數學知識之間的邏輯系統又存在多樣性、開放性。比如，現行的幾種版本的小學數學教材，有的是先學分數，再學小數，即小數學習建立在分數基礎之上;有的則先學小數，再學分數，小數學習并不與分數直接發生聯系（當然，后續學習中還是要發生聯系的）。又如，教學分數，有的教師是從整數除法入手：6÷2=3，2÷2=1，1÷2沒法除了，怎么辦？有的教師是從“份數”入手：1個蛋糕，平均分成2份，每份是多少呢？還有的教師則是從整數入手：3個餅，吃掉1個，剩下2個;再吃掉1個，剩下1個;又吃掉1個，沒有了（0個）。人吃餅的時候，是不是一口一個呢？有沒有比0多、又不足1個的情況？這些不足1個的“零頭”，怎么用數來表示呢？于是，分數就“嵌入”到0、1、2、3……的整數體系中。

值得注意的是，對知識系統性的理解，不能局限在純數學概念層面。多一些視角，可以在更高層面上建構知識系統。比如，關于加法的學習：一年級學習“9+4”，核心算法是“湊十法”，學會了“湊十”，就可以遷移運用到“8+4”“7+4”等進位加法;二年級學習兩位數加法，“58”跟哪個數相加最好呢？自然是“42”，因為58+42=100，核心算法是“湊百”;再往后，還會碰到“湊千”（如723+277）、“湊一”（如0.75+0.25），等等。從算法的角度看，“湊十”“湊百”“湊千”“湊一”都是不同的方法，但就其本質而言，都是“湊整”。顯然，“湊整”是一種更加上位、更具統攝性、更有擴展性的數學思維，用“湊整”來統攝“湊十”“湊百”“湊千”“湊一”等的學習，零散的知識就被“拎”起來了，課堂就具有了長程眼光和穿透力，一節課便上出了幾年的跨度。

基于上述思考，我們嘗試性地創建小學六個年級12冊教材的數學知識結構全景圖，力求尋找不同領域、年段、年級、分冊各知識內容的內在邏輯關聯，除了呈現每個知識內容的年級分布（從左向右，以色塊區分）和所屬領域、板塊，更重要的是通過不同虛實粗細的線條、箭頭、注解、圖標等揭示其內在關聯。比如，“圖形與幾何”領域的“長方形和正方形的周長”與“長度計量”相連接，而“長度計量”又與“整數認數”中的“十進制”連接;“長方形和正方形的面積”與“面積計量”相連接，“面積計量”又和“數與代數”領域的“乘法”連接。而無論是長度計量，還是面積計量，或是體積計量、角度計量、時間計量……所有的計量方法都是相通的，那就是“計量”板塊橫線上寫的9個字：定標準、去測量、得結果。又如，小學各年級都涉及“統計與概率”領域內容的學習，包括統計方法、統計圖表、統計分析等，總共編排了10個單元、20多個例題、50多個課時，但是，“統計與概率”的核心歸根結底就是一句話：用數據來“說話”（通過數據的研究來解決實際問題）。各年級所學內容，無非是這一核心的具體分解——數據的搜集、整理、描述與應用。這樣的全景圖，有“寬度”，有“深度”，也有“貫通度”，可以用8個字來概括：“一體”（六個年級12冊合為一體），“二核”（數與形）、“三主”（認數主線、圖形主線、統計主線）、“四附”（代數初步、問題解決、量與計量、探索規律）。

總之，知識系統化的核心是整體與關聯。基于不同視角、不同理解的整體與關聯，會讓數學的世界變得更加美妙，給數學教學帶來無限的創造空間。

（二）教學結構化

教學結構化（或結構化教學），其關鍵是將“結構化”的理念融入教學活動之中，“充分依據結構、生成結構、拓展結構，發展結構思維，培育數學素養”許衛兵.結構化學習：回歸“本原”的課堂實踐[J].小學數學教師，2018（21）：64。;要“遵循數學知識內在的邏輯機理，通過結構化的長程設計、模塊式的意義重構、遞進式的教學推進，幫助學生建立清晰的知識結構以及獲得知識的方法結構，使原本鑲嵌在教材豐富背景下的散點知識凸顯出來，進而以結構關聯的模型保存在學生的大腦皮層，在后續的學習中便捷、有效地提取與轉化”王冬娟.“結構教學”的內涵、價值和基本原則[J].小學數學教育，2017（8）：22。。

1.系統化的知識，需要有結構化的表達。

所謂“結構”，《現代漢語詞典》（第7版）的解釋是“各個組成部分的搭配和排列”。筆者以為，它包含三個關鍵要素：元素、關聯、整體。以一年級“認識人民幣”為例，元素就是人民幣的三個單位“元”“角”“分”，關聯就是三個單位之間的三組關系——元與角、角與分、元與分的進率，整體就是元素及關聯所構架出的全貌。圖2所示的兩種形式的課堂板書，對上述三個方面都有所表達。但稍做比較便可發現，右邊的板書結構感更強一些，內涵也更豐富一些，它不僅改變了左邊板書中元素和關聯的“散點”狀態，而且把元、角、分的進率所表示的雙向關系表達得清楚明白。理論上，“=”也表示雙向關系，但對于一年級學生而言，從“1元=10角”建立“10角=1元”的認識并不容易——而三個雙向箭頭，便把這層含義形象地表達了出來。不僅如此，上面兩個10，下面一個100，給學生以強烈的視覺沖擊，把三組關系有機統一，很好地體現了數學的邏輯性和嚴密性（“10個10”就是100），這對后續長度、質量、面積、體積等計量單位的學習，以及數學知識系統梳理都有很好的啟示作用。

由此可見，在關注元素和關聯的基礎上，多用箭頭符號來標注聯系，不失為教學中體現整體性、結構性的好辦法。不過，這種板書變換還只是把同樣的內容做了不同形式的改造，而上文中提到的“可能性”的板書則更具創造性，它突破和超越了教材編排的文本內容，實現了更為宏觀的整體建構。當然，上述板書中的單箭頭，也都具有雙箭頭的含義（或者不畫箭頭只是以弧線來連接，同樣表達彼此間雙向關聯）。需要補充說明的是，“隨機事件”和“確定事件”之間用虛線連接，意在表達二者之間看似不同，但在一定條件下是可以相互轉換的（比如，把硬幣的反面也做成正面的圖案，把“三色轉盤”變成“單色轉盤”，就是把隨機事件變成了確定事件;反之亦然），“不可能”下面的虛線箭頭，意在與“可能”情況加以區分，一實一虛，一顯一隱，相依并存，給學生以辯證思維的啟迪。更為重要的是，這個板書可以一直用到初中、高中、大學里“概率”等內容的學習：“一定”事件的可能性就是1，“不可能”事件的可能性為0，隨機事件的可能性在0-1之間;確定事件可以看成是隨機事件的極端情況，某個隨機事件發生的可能性大小是由“等可能情況”與所有“發生情況”的占比決定的……這進一步說明，基于整體建構的數學教學是可以實現“一節課上出幾年的跨度”效果的。

教學四年級“周期規律”，不少教師上課時黑板上幾乎是空白的，原因就是除了寫上解決問題時的幾道算式，實在不知道寫什么。圖3是我們的課堂板書。稍加分析可以看出，這個板書除了列舉出知識層面的周期特征（每幾個一組、按順序排列、重復出現）、找周期的方法要點（圈一圈、至少看兩組等）、如何應用周期解決實際問題（確定任意一組、確定任意一個、確定計算總數等），還用概念學習的三大“追問”（是什么、從哪里來、到哪里去）來統領學習過程。最后的“已知→未知”“有限→無限”是對“周期規律”學習意義的概括，既不是知識，也不是方法，而是思維的引導、思想的升華。

板書看課堂。眼界決定境界，思想決定高度！以結構化的方式呈現學習素材、思路、思考、體會、發現……課堂教學自然就會八面來風，風景獨好。

2.重視“經驗的改組或改造”，促進認知結構化。

促進認知結構化是教學結構化的關鍵要義。杜威認為，教育就是經驗的改組或改造。既然是“改組或改造”，就需要關注基礎，重視過程，著重變化，在動態中發展，在發展中生長。這種并不算新鮮的理論，一旦與結構化教學實踐相結合，就會有蓬勃的生機，綻放出千姿百態。

比如，三年級學習“年、月、日”，是在二年級學習“時、分、秒”之后第二次學習時間單位。以下教學流程，比較好地體現了結構化學習的特點（其間的板書演變如圖4）：

（1）從交流“記憶中不同尋常的日子”開始，引出“年”“月”“日”三個時間單位。回憶過去學習時間單位“時”“分”“秒”的經驗，提煉出“關系”和“時長”這兩個關鍵點。

（2）聯系先前的學習，思考可以從哪些方面來研究年、月、日。然后結合生活經驗、合作探究，揭示相互間的關系（如31、30、29、28，24，12，365、366等），再說一說從什么時候到什么時候，經過的時間就是“1年”“1月”“1日”。

（3）將時間單位與已經學過的人民幣單位、長度單位、質量單位等相比，進行總結提升，完善結構，發現和感悟：在各種計量單位系統中，時間單位之間的關系是最復雜的，原因是它與大自然、歷法等眾多因素有關;雖然它們之間很不同，但又是相通的——任何計量單位的學習都要研究各單位的“大小”（量值）和彼此間的“關系”（進率）。

這樣教學，融學生日常的生活經驗、已有的認知基礎、數學知識系統等為一體，基于生活又超越生活，基于知識又超越知識，利用整體建構帶動學生的思維發展。認知心理學告訴我們，經驗的改組或改造具有多種形態，同化、順應或二者并存都是可能的;同樣，學生的認知結構也有多種形態（“個體差別”），認知結構化的途徑和方式也應該有多種，由此，教學就有了豐富多樣性。

3.合“縱”連“橫”，理順教學結構。

落實教學結構化，離不開建構清晰完整的教學結構（或課堂結構）。

依據時間的一維性，人們習慣于按照線性結構來組織教學。傳統的“五步教學法”（復習鋪墊—引入新課—習得新知—總結概括—鞏固提升），就是時間進程與認知過程相結合的一種教學結構類型。雖然這種結構類型至今仍十分常見，但隨著信息時代的到來，素養為本、能力為重的教育呼聲變高，這種教學結構的弊端也愈發顯現。我們曾嘗試進行“發現問題—提出問題—分析問題—解決問題—產生新問題”的“新五步教學法”探索，引導學生在質疑、析疑、解疑、生疑的螺旋發展鏈條中完成學習任務。我們也曾以數學思想方法為軸心，倡導低年級課堂向高年級穿越，高年級課堂從低年級的學習起點開始，實現一節課上出“六年的跨度”（甚至衍發更長遠的影響力）。這些探索都取得了比較好的效果。

好的教學結構，要層次清晰、目標明確、邏輯嚴密。同一類知識的教學，一般有著類似的推進過程。例如，探索規律的教學一般按照“發現猜想—驗證猜想—歸納概括—反思完善”的過程，認數教學一般按照“材料感知—認識新數—鞏固新數—運用新數”的過程，運算教學則一般按照“提出問題—探索算法—理解算理—歸納法則—內化算法”的過程。認識到這種過程性結構的存在，就可以從起始內容的教學開始，不斷地提煉、比較、呼應，引導學生主動遷移和應用這一過程結構，并在自主學習的過程中轉化為有效的學習策略。王冬娟.“結構教學”的內涵、價值和基本原則[J].小學數學教育，2017（8）：22。

好的教學結構，要貼近學生，激活思維，促進發展。數學學習的根本價值在于不斷地完善認知結構、豐富學習感受、發展思維能力。比如，三年級“間隔排列”的教學，重點是引導學生從數量關系的角度探索并發現“一一間隔排列”現象中蘊含的簡單數學規律，可用整體建構的觀點，設計如下三個教學環節：（1）借助擺兩種不同顏色圓片的活動，讓學生發現“一一間隔排列”有“兩端不同”和“兩端相同”兩種情況;（2）分類研究這兩種情況，得出結論：兩端不同時，兩種物體數量相等;兩端相同時，兩種物體數量相差1——尋找數量之間的特征，都可以用“一一對應”的數學思想方法;（3）通過增加或減少圓片，將“兩端相同”變成“兩端不同”，讓學生直觀感知這兩種情況在一定條件下是可以互相轉換的，從而打通二者的聯系，滲透辯證統一觀念。三個環節，通過“經過剛才的探索，你發現了什么？”“經過剛才的探索，你又發現了什么？”“經過剛才的探索，你還發現了什么？”這三次追問，進一步強化“一一間隔排列”的類型、數量特征、數量關系背后的數學思想以及兩種類型之間的辯證統一，引導學生的思維不斷“爬坡”。

總之，教學過程既是數學知識從少到多，從簡單到復雜，從單一到組合的橫向拓展過程，又是數學思考從現象到本質，從分離到整合，從直覺感受到深刻領悟的縱向提升過程。合“縱”連“橫”，課堂方能“向四面八方打開”。

（三）思維“自能化”

數學是思維的體操。數學學習要引導學生在學習活動中切身體會思維的力量，并最終成為“思維的主人”。那么，思維發展最理想的狀態是什么？或者說，思維發展到“登峰造極”的表現是什么？我以為，就是形成思維習慣，即未經任何提示，自然而然流露出來的、具有自覺、能動特征的思維能力。“數學學習不能停留在思維方式方法的簡單使用上，而要突出學習者的主體自覺、自發、自為（自動而為），增強對更加上位、更加統整、更具‘超能’的較高水平的思維品性、思維品質、思維品格的培養。”許衛兵.以思維為核心的數學素養導向——基于課堂教學的視角[J].小學教學（數學版），2017（1）：12。這樣的思維發展佳境，不妨稱之為“自能化”。

思維的“自能化”并不是通過幾節課、一兩個學期、一兩年就能“修煉”成的，而是一個長期累積進而逐漸從量變到質變的過程。從日常教學的角度來看，要邁向這樣的目標，需要把握以下四個要點：

一是“看得見”，即多用直觀的方式呈現知識結構。直觀性——這是年齡較小的學生的腦力勞動的一條普遍原則。唐·季·烏申斯基曾寫道：“兒童是‘用形式、聲音、色彩和感覺’思維的。”[蘇聯]蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M]. 杜殿坤，編譯.北京：教育科學出版社，2011：85。上文提到的“板書看課堂”，實質上就是借助于板書的視覺效應，增強學生對結構關聯的敏感性，進而帶動思維向更高層面發展。與傳統教學相比，這樣的板書，除了呈現知識要點外，還要適當提煉出蘊含的數學思想方法等;除了盡可能讓學習過程“留痕”，更要突出關聯，體現整體感。當然，直觀的方式是豐富多樣的，生動的故事情境、形象的圖形畫面、動態的視頻錄像、自主的操作活動是直觀的;為解釋說明所學所得而舉一個生活事例，打一個比方，做一番演示，繪制一張圖表等，也是直觀。此外，我們要牢記：直觀性的目的絕不是為了整節課抓住學生的注意力不放，而是為了在教學的某一個階段上使學生擺脫形象，在思維上過渡到概括性的真理和規律性上去。

二是“說得清”，即能用語言（也包括圖解、符號、文字、演示等）將學習和思考表達出來，進行“數學化表達”。表達的過程，是對自己的思考再一次審視、修正、完善的過程，也是互相接納、取長補短的過程。比如，在學習“1千米=1000米”時，有學生認為，“千米”中有一個“千”字，所有1千米=1000米;而有學生認為，從已經學過的4個長度單位“毫米、厘米、分米、米”相鄰兩個長度單位之間的進率都是10來看，“千米”和“米”之間可能還有其他的長度單位（“十米”“百米”，課本中沒有這兩個長度單位）。兩種想法都基于某種理由，但相互比較后，學生感覺后者的理由更加充分，邏輯層次水平更高，于是，從“毫米”到“千米”之間的十進制的長度單位體系就建立了。值得一提的是，在教學時出現“十米”和“百米”，并不表示要求學生掌握和應用它們，其意義在于：借助它們，可以讓學生更好地理解數學的嚴密性、邏輯性、結構性。

三是“理得順”，即能將多個元素、多種關系之間的邏輯關聯理順暢，避免出現錯位、錯亂和錯誤（比如，把“一定”“可能”“不可能”看成是并列存在的三種事件）。當然，由于數學知識內在的結構關聯具有多樣性，這里的“順”在很大程度上是基于學生、基于教材、基于課堂、基于數學的。比如，低年級剛開始學習長方形和正方形，為了讓學生更好地掌握這兩種圖形的特征，有必要將其視為兩種不同的圖形。但是，隨著知識量的增加和思維發展水平的提升，則需要逐步建立“正方形就是特殊的長方形”的認識，二者之間的關系也從“并列”關系轉為包含關系。再如，在小學階段，加法和減法是“水火不相容”的兩種運算方法，但是，初中學完有理數減法（減去一個數等于加上這個數的相反數）后，減法就可以視為一種特殊的加法了。此外，對一個內容的學習，除了知識獲得，還有過程與方法、情感態度與價值觀的目標，知識維度、方法維度、思想維度等往往是交織在一起的。如何在更寬的視野、更高的水平上幫助學生理順關系，則需要教師有更深厚的素養和更高超的教學智慧。

四是“悟得透”，即讓學生在感悟中慢慢懂得數學是怎么回事、數學學習是怎么回事，進而能輕松地學習數學、喜歡數學，乃至于整個人成了“數學”。為此，課堂上要多花時間讓學生進行深層次的思考與交流，在反思中領悟數學的真諦，走向學習的自由王國。圖5是“探索規律——和與積的奇偶性”的教學板書，板貼卡片上的內容是揭示“和與積的奇偶性”的規律，十幾個箭頭則表達出各個規律之間的關聯。

來看看學生的領悟——我知道了只要從“偶數+偶數=偶數”出發就可以變成其他復雜的式子，從兩數之和就可以變成多數之和、兩數之積……我還學到了舉例研究的方法，從舉例到猜想，到驗證，再到結論。

——儲心怡

學數學，不是只經過舉例就得出結論，而是通過舉例、猜想、驗證才得出結論，中間的過程不能少。學數學，就是把復雜化為簡單，讓簡單變得更簡單，但中間一定是有關系的，不管怎么變，都是由原始擴展出去的。所以，數學要學“通”，也要學“透”。

——徐佳程

通過學習，我明白了：要求積的奇偶性，先要想和的奇偶性，而在所有和的奇偶性當中，“偶數+偶數=偶數”是重中之重。在研究的過程中，我們從最簡單的想起，當我們研究通透了以后，才發現復雜的東西也會變得如此簡單！我愛上了數學！

——王詩雅

我記得許老師有一句話說得特別好：“比誰數學學得好，就比誰腦子里的箭頭多。”的確，這些箭頭表示的是概念和概念之間的聯系。能把各種復雜的概念最終和一個簡單的概念建立聯系，或由一個簡單的概念能聯想出一些復雜的概念，也是一種“數學人”必備的思維能力。我們作為小學生，應該訓練自己的這種思維能力。

——羅笑妍思維發展走向高水平有三個重要過程（階段）：入心、生長、外化。學習首先是自“外”向“內”的，但所有入內的東西需要在內心不斷地積淀和生長，等積淀和生長到一定程度，就會外化為一種近乎本能的意識和行為。當學生的反思、建構能力越來越強，結構化思維水平會越來越好，自動化程度也會越來越高，進而就能自覺、主動地去應用。這時，他的數學素養就真正形成了。

綜上可見，指向整體建構的數學教學，遵從了數學學科整體性、結構性的本質特征，順應了數學學習“四兩撥千斤”的內在需求，彰顯了“育人為本”“素養為上”的教育教學價值。它是理念，也是行動;是思想，也是方法;是過程，也是結果。它是一次向教育常識、教育本質的回歸，也是一次承載著新的數學教育使命的“再出發”。

（許衛兵，江蘇省海安市城南實驗小學教育集團總校長，特級教師，正高級教師。首批“江蘇省人民教育家培養工程”培養對象，江蘇省基礎教育教學改革專家委員，江蘇省“333”高層次人才培養工程學術帶頭人。倡導“簡約教學”，研究成果獲江蘇省人民政府教學成果特等獎、國家教育部教學成果二等獎。著有《簡約數學教學》《成為高度自覺的教育者——寫給后課標時代的數學教師》等。）