高三解題教學中的“說數學”實踐研究

鄭花青

摘要：“說數學”，即學生用自己掌握的數學語言來闡述對所學數學知識、問題和方法的認識、理解與選擇，表達自己對數學學習、認知和解題等的體驗、感悟和情緒，進而與老師對話、與同學交流。在梳理高三解題教學中“說數學”的可行性與必要性的基礎上，提出實踐路徑：重點在理解題意、尋找思路、總結反思環節，通過一些提示語，讓學生明確需要做什么，并且把做的過程和結果說出來。

關鍵詞：說數學解題教學理解題意尋找思路總結反思

《普通高中數學課程標準（2017年版）》把“提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”作為“課程性質”之一，在“學科核心素養”的解讀中也多次提到數學語言表達與交流能力的重要性。那如何落實這些理念呢？

結合多年的教學經驗，筆者認為，可以采取“說數學”的方式，即讓學生用自己掌握的數學語言來闡述對所學數學知識、問題和方法的認識、理解與選擇，表達自己對數學學習、認知和解題等的體驗、感悟和情緒，進而與老師對話、與同學交流。“說數學”活動，能夠引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界;促進學生克服表達障礙，會用數學語言表達世界;進而讓學生從更加寬闊的視角審視數學學習，有效提高數學解題能力。

一、高三解題教學中“說數學”的可行性與必要性

（一）可行性

首先，經過高一、高二的數學學習，學生已經對高中數學知識有了豐富的儲備，對高中數學課程體系有了基本的了解，熟悉一些處理數學問題的基本思想方法，具備了一定的數學素養和思維水平。這為高三解題教學中“說數學”活動的開展提供了前提條件。

其次，在種類繁多的數學問題的解決過程中我們可以發現，許多問題的解決實質上包含了一個程序、一系列的動作和一套運算系統。這讓高三解題教學中“說數學”活動的開展具備了有效的操作范式。

（二）必要性

1.讓學生真正參與思維過程，“知其所以然”，提升解題能力。

長期以來，高三解題教學自覺或不自覺地遵從了教師權威、解法本位和精英主義的教育價值取向，于是“滿堂灌”“飛來解”“快速過”成為普遍存在的現象。在這樣的教學模式下，學生只能被動接受解題的結果，無法真正參與思維的過程;只能“知其然”，無法“知其所以然”;只能機械模仿，無法靈活應用。學生缺少體驗和理解，解題能力停留在較低的層次——表現為“聽得懂、說不出、寫不全、算不對”，即“似會”。

語言是思維的載體，數學思維是數學語言的內在表達?！跋肭宄辈牛ň停┠堋罢f明白”。解題教學中的“說數學”活動可突出學生的主體地位，讓學生在說的過程中關注自己的思維過程，發現解法中的一些實質性步驟、關鍵性環節及其動機和來源（波利亞所謂的“病歷”），進一步理清自己解決問題的模式和思路，積累屬于自己的解題經驗與方法，進而真正提高解題能力，實現“真會”。

2.讓學生充分優化思維表達，發展理性思維，改善學習態度。

“說數學”不僅是一個表達自己想法的過程，而且是一個使別人理解、信服的過程。在解題教學中，要讓別人理解、信服自己的話，就必須在意識原生的基礎上經過辨別、選擇、分析、綜合、聯系、比較、概括、提煉、組織、整理等一系列思維優化的過程，進而簡明流暢、有理有據地表達出來。

在這個“能說—會說—說好”的過程中，學生能夠充分發展理性思維，改善學習態度——這些也是學習金字塔理論認為“講出來”、做“小老師”，才能“學進去”、才是最好的學習方式的原因。

二、高三解題教學中“說數學”的實踐路徑

波利亞解題模型將數學解題分為理解題目、擬訂方案、執行方案、回顧四個步驟，也就是我們解題教學中常說的理解題意、尋找思路、書寫解答、總結反思四個環節。因為在教學中，解題活動最終呈現的往往只有書寫解答環節，所以，筆者重點在理解題意、尋找思路、總結反思環節，通過一些提示語，讓學生明確需要做些什么，并且把做的過程和結果說出來。通過這樣的“說數學”活動，提高學生的思維能力、表達能力以及解題能力。

（一）在理解題意環節“說數學”

理解題意是解題活動的開始，也是最重要的一步。波利亞指出：在理解題目時，首先要理解題目的語言陳述——弄清楚未知量是什么，已知數據是什么，條件是什么;其次要深入理解題目——將題目的主要部分分離出來，弄清楚那些后續很可能會起作用的細節。

為此，筆者嘗試使用如下提示語，引導學生在理解題意環節“說數學”：（1）這是一個什么問題？要求（證）的是什么？（考查什么知識點？越具體越好）（2）已知條件有哪些？（弄清楚每個已知條件的含義）（3）主要條件和關鍵細節是什么？（明確可能需要深究或轉換的已知條件）（4）解決這個問題有哪些工具？（聯想相關概念、命題、公式、方法）當然，這些提示語不是讓學生做簡單的形式上的思考和回答，還需要學生深究與題目相關的每一個對象、性質及相互關系與轉化。只有這樣，題意理解才能發揮解題功效。

例1在平面直角坐標系xOy中，已知A（-12，0）、B（0，6），點P在圓O：x2+y2=50上，若PA·PB≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是。

對于此題，學生在上述提示語的引導下，說出了如下一些理解題意相關的內容：

（1）這是一個求變量范圍的問題，要求點P的橫坐標的取值范圍。

（2）已知A（-12，0）、B（0，6），即兩個定點;點P在圓O：x2+y2=50上，表示點P的坐標滿足圓O的方程x2+y2=50;PA·PB≤20，表示向量PA與PB的數量積小于或等于20。

（3）與點P的橫坐標直接有關的主要條件有兩個：一是點P在圓O：x2+y2=50上;二是PA·PB≤20。對兩者可以進行幾何轉化。對后者可以深究，從而得到：點P在另一個定圓內。

（4）范圍問題的代數方法是解變量滿足的不等式或建立變量的函數后求其值域，幾何方法為轉換為圖形位置關系研究。

……

學生“說題意”后，教師點評：深入理解題意就是盯住結論點P的橫坐標的取值范圍，追問關鍵條件PA·PB≤20是什么，深究主要條件“點P在圓O：x2+y2=50上”與“PA·PB≤20”之間，以及它們與結論“點P的橫坐標的取值范圍”之間有什么聯系及轉換。

（二）在尋找思路環節“說數學”

尋找思路就是把理解題意中捕捉到的信息與從自己的經驗中提取出的信息結合起來，進行加工、重組與再生的過程。因為理解題意角度的不同，自己經驗的不同，加工、重組與再生方式的不同，所以產生的解題思路也可能不同。在解題教學中，學生往往能聽懂或看懂別人的解題過程，但是對其中的“奇思妙想”很難接受，因為自己很難想到。所以，了解解題過程是怎樣產生的、背后的思路（想法）是什么，是提高解題能力的關鍵。

波利亞指出，一種解題的方法，如果是經過自己的努力得到的，或者是從別人那里學來的，但經過了自己的體驗，那么對于自己來講，就可以成為一個范式：再碰見其他類似問題時，就成為可以仿照的模型。所以，“說解題思路”的關鍵在于說清楚思路（想法）的來源，讓聽者更容易理解和接受，最好能激發共同體驗，產生共鳴。

為此，筆者嘗試使用如下提示語，引導學生在尋找思路環節“說數學”：（1）思路來源是什么？（由什么條件或結構想到的？越具體越好）（2）使用的知識與方法是什么？（知識越具體越好，方法可以有不同的層次）（3）具體的思路是什么？（給出解題的主要步驟或關鍵環節）

例2已知實數x>0，y>0，且滿足8x+2y=1，求x+y的最小值。

對于此題，學生在上述提示語的引導下，說出了如下一些解題思路相關的內容：

（1）我的思路來源于本題的條件和結論符合利用基本不等式求最值的一個常見模型：當x>0，y>0，且ax+by=c（a、b、c為正常數），求x+y的最值。使用的知識是基本不等式。方法是常數代換法，本題是“1”的代換。具體過程為：x+y=（x+y）8x+2y=10+8yx+2xy≥10+216=18，當且僅當8yx=2xy且8x+2y=1，即x=12，y=6時，等號成立。

（2）我的思路來源于多元變量求最值的消元法：對于二元變量的最值問題，可以利用已知條件消去一個變量，然后看成一元變量的函數最值或不等式問題。使用的知識是等式的性質和基本不等式。方法是代換消元、恒等變形和整體思想。具體過程為：由條件得2x+8y=xy，得y=2xx-8（x>8），所以x+y=x+2xx-8=x-8+16x-8+10≥216+10=18，當且僅當x-8=16x-8，即x=12，y=6時，等號成立。

（3）我的思路來源也是多元變量求最值的消元法，但是在消元后用導數求最值。使用的知識是等式的性質和導數與函數單調性的關系。方法是代換消元和恒等變形。具體過程為：由條件得2x+8y=xy，得y=2xx-8（x>8），所以x+y=x+2xx-8。令f（x）=x+2xx-8，則f′（x）=1-16（x-8）2。令f′（x）=0，得x=12。當x∈（8，12）時， f′（x）<0，故f（x）單調減;當x∈（12，+∞）時， f′（x）>0，故f（x）單調增。所以當x=12時，f（x）取得極小值也是最小值，即fmin（x）=f（12）=18。

（4）我的思路來源于數形結合：將代數方程（式子）看成幾何曲線（圖形）。使用的知識是函數的圖像和方程的曲線。方法是數形結合。具體過程為：令x+y=t，則y=-x+t。由2x+8y=xy，得y=2+16x-8（x>8）。于是，問題轉化為研究動直線y=-x+t與定曲線y=2+16x-8（x>8）的位置關系。畫出草圖可知，當它們相切時，直線在y軸上的截距t取到最小值。由f（x）=2+16x-8，得f′（x）=-16（x-8）2。令f′（x）=-1，解得x=12，y=6。

……

學生“說解題思路”后，教師點評：本題同學們的想法都很好！探究想法背后的“靈感”，可以發現，它們都是因“源”而起的妙招！這個“源”就是多元變量與函數最值問題的常見處理策略。代數方法首先需要消元，無論利用基本不等式直接消元（思路1），還是利用已知等式代入消元（思路2、3），都是可行的，只是方法優劣的差異。幾何轉化意識也非常重要，數形結合是解題的常用利器。此外，值得一提的是，二次型函數（曲線）求最值（切點）時，還可以采用判別式法。

（三）在總結反思環節“說數學”

總結反思，簡單地說，就是解題完成以后回過頭來檢驗自己的解答過程以及得到的答案，更重要的是概括與提煉解決此類問題的規律和模式。波利亞指出，假如想從解題中得到最大的收獲，就應當從所做題目中找出它的特征，因為這些特征在以后求解其他問題時，能夠起到指引作用。所以，“說總結反思”的關鍵在于說清楚題目類型、解題所用知識與方法，獲得本質上的認識和感悟，形成一類問題的特征和處理方法。

為此，筆者嘗試使用如下提示語，引導學生在總結反思環節“說數學”：（1）這個問題的圖1

類型是什么？（問題的本質是什么？越具體越好）（2）這個問題的解決對你有什么啟發？（獲得可以推廣的規律或方法）（3）你能否嘗試提煉、概括解決該類問題的規律與模式？（嘗試利用算法思想表達解決此類問題的流程）

例3已知函數f（x）=x（ex-2），g（x）=x-ln x+k，k∈R。記函數F（x）=f（x）+g（x）。 若F（x）>0的解集為（0，+∞），求k的取值范圍。

對于此題，學生在上述提示語的引導下，說出了如下一些總結反思相關的內容：

（1）從理解題意上說，含參函數F（x）>0的解集為定義域，等價于含參函數F（x）在定義域上恒大于0，等價于含參函數F（x）在定義域上的最小值大于0。因此，問題的本質是求函數的最值。

（2）利用導數研究函數F（x）在定義域上的最值（或極值、單調性），需要確定導函數F′（x）在定義域上的符號（正、負或0），可以對導函數F′（x）因式分解，然后舍棄其中符號確定的部分，研究余下符號不確定的部分（本題中為h（x）=ex-1x（x>0）。

（3）研究導函數符號不能確定的部分h（x）的符號（正、負或0），發現零點存在但是難以求出時，可以設為x0，利用零點x0滿足的方程（本題中為ex0=1x0）化簡原函數的最值F（x0）（本題中最終化為1+k），達到最值不等式可解的目的。

（4）解決利用導數研究函數單調性、極值、最值有關問題的一般模式如圖1所示。

學生“說總結反思”后，教師點評：前三位同學對解題過程中的一些關鍵步驟（方法）做了一般化總結，而最后一位同學則在他們的基礎上總結出了解決此類問題的一般模式。非常好！

*本文系江蘇省教育科學“十二五”規劃立項課題“‘說數學’在高中數學學習中的探索與研究”（編號：D/2015/02/12）和江蘇省教育科學“十三五”規劃立項課題“回歸本質：高中數學解題教學模式創新實踐研究”（編號：D/2016/02/69）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] ﹝美﹞G.波利亞.數學的發現：對解題的理解、研究和講授[M].劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學出版社，2006.

[2] ﹝美﹞G.波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.