借點子圖之直觀解運算律之算理

熊新艷　彭丹

點子圖在小學數學教學中運用較廣。在教學中，利用點子圖這種直觀圖形，既能充分體現數形結合的數學思想，又能體現出數學學科的重要性，還能使學生更容易理解和接受。

在運算律的教學中，我們發現，學生對運算律中算理的掌握和區分感到困難。那么，在教學中，能不能利用點子圖，幫助學生解決運算律中關于算理的困惑呢？又如何利用點子圖的直觀特點，讓點子圖成為一個有效載體，真正讓圖形直觀成為思維的源泉呢？下面筆者結合自己的教學實例，以乘法交換律、乘法結合律及乘法分配律為例，談談做法和體會。

理解乘法交換律

利用點子圖的直觀，可以抓住乘法意義的本質，以知識本身為基本點，幫助學生理解、感悟，提升思維品質。在乘法交換律中，如何利用點子圖來理解其算理呢？以下圖為例，筆者認為可以這樣進行，首先出示點子圖，如圖1所示：

橫著看，可以看成5個12相加，寫成乘法算式是12×5;豎著可以看成12個5相加，寫成乘法算式是5×12;接著進一步指出，它們表示的是同一個點子圖，點子數量是不變的，也就是12×5=5×12。這樣，在復習鞏固乘法意義的同時，自然而然地就引出了乘法交換律。然后，可以出示更多的點子圖進行擴展、推廣，進行驗證，最后用字母表示，得出乘法交換律的一般式a×b=b×a。這樣，用點子圖直觀呈現的方式，學生更容易理解，更容易接受，印象更深刻，同時，在這個過程中，逐步養成舉例驗證的數學思維習慣，培養嚴謹求實的科學態度。

理解乘法結合律

在教乘法結合律時，都是通過對算式的計算來引入的。如通過計算（6×2）×5和6×（2×5），計算哪一個算式的速度快些，使學生自己體會到得到整十數、整百數等會使計算速度快的感悟。學生自己有了深刻的體驗，感受到學習乘法結合律的必要性，知道運用乘法結合律可以使計算變得簡便。那么，為什么可以這樣算，其計算道理又在哪里？學生會感到一定困難，可以借助點子圖來幫助學生理解。根據上面的算式，可以出示點子圖，如圖2所示：

橫著看，每行的點子數是2個6，寫成算式是6×2，共5行，因此圖2中點子總數是：（6×2）×5。也可以看成每行有2個格子，有5行，共有2×5個格子，每個格子里面有6個點，圖2中點子總數是：6×（2×5）。接著進一步指出，他們的表示的是同一個點子圖，點子數量是不變的，也就是：（6×2）×5=6×（2×5）;這樣一來，學生就理解到了數量的多少這一本質沒有變。同理，我們可以出示更多的點子圖進行擴展、推廣，進行驗證，最后用字母表示，得出乘法結合律的一般式（a×b）×c=a×（b×c）。在這個過程中，通過點子圖，采用數形結合的思想，使學生明白了乘法給合律的算理，掌握了其本質，培養了數感，然后通過練習，達到熟練運用的目的。

理解乘法分配律

在乘法分配律的教學中發現，學生屢屢犯錯，其根本原因就是：沒有很好地在頭腦中構建“形”和“質”之間的聯系，沒有把握乘法分配律的形變而質不變的（即量的守恒）這一本質。乘法分配律成為小學生學習的難點和易錯點。如何突破乘法分配律的教學難點，讓學生理解其算理，讓學生靈活地掌握解決此類問題的方法，筆者認為，借用點子圖的直觀，可以讓學生理解并掌握。如圖3所示：

先把每一行的12個點子分成兩個部分，即2個點和10個點，橫著看，每一行都是（2+10），共有5行，求總共的點子數，可以列式（2+10）×5個。再豎著看，分成左右兩個部分，左邊點子數是5個2，即（2×5）個，右邊點子數是5個10，即（10×5）個，總共的點子數就是2×5+10×5。不管從哪個角度看，不管用哪種方法算，數量的多少沒有變，即：（2+10）×5=2×5+10×5。

由此擴展、推廣，進行更多的驗證，從特殊到一般，進行歸納總結，得出一般式：（a+b）×c=a×c+b×c。

在這個過程中，以點子圖作為支撐，采用數形結合的思想，加深對“量不變”這一本質的理解，利用學生已有的知識經驗和對圖形的敏感，真實、真正準確地把握了乘法分配律的算理和本質，突破學習難點。

借助點子圖的直觀，運用數形結合的思想，提供給學生支撐點，讓學生有思維的源泉，他們就能在其中找到并理解知識的本質，既明白了聯系，又凸顯了區別，還能提升思維品質，讓學生受益。

（作者單位：廣東省深圳市南山區同樂學校）