知識結構再生長，問題變式在聯想

諸士金

摘要：以“生長數學”理念為指導，設計和實施了蘇科版初中數學九年級上冊第2章《對稱圖形——圓》復習課第一課時的教學。其教學價值有：彰顯圓的元素及元素關系的知識結構;聚焦圓及其他圖形之間關系的問題變式。其教學過程主要分為兩個環節：借助圓的基本圖形，重建知識結構;基于圓的典型圖形，進行問題變式。由此得到對復習課的教學反思：關注元素及元素關系的知識結構生長;突出“強化、弱化、互逆化”的問題變式聯想;通過“適時分步介入”調整教學節奏。

關鍵詞：《對稱圖形——圓》復習課知識結構問題變式

蘇科版初中數學九年級上冊第2章《對稱圖形——圓》內容較多，常常分為多個課時來復習。其中，第1—4節《圓》《圓的對稱性》《確定圓的條件》《圓周角》的主要內容是與圓有關的概念及其基本性質，可以放在一個課時中復習。為了更好地“讓復習課成為講述數學思維的故事，引導學生從不同的視角認識所學的知識，使學生產生別有洞天的感覺”，筆者以卜以樓老師提出的“生長數學”理念為指導，設計和實施了這節課的教學。

一、教學價值

（一）彰顯圓的元素及元素關系的知識結構

從圖形元素及元素關系的角度來看圖形的形狀、大小、位置，是數學研究的重要途徑。這是一種從宏觀到微觀的認識，是一種看待世界的觀點。較為系統地建立這樣的認識和觀點的最佳時機就是復習課。因此，在新授課了解了圓的圓心、半徑、弧、弦、圓心角、圓周角等元素的定義與有關性質的基礎上，復習課重要的教學價值之一便是厘清它們之間的關系，形成結構化認識。具體可以以圓的軸對稱性與旋轉不變性為基礎，梳理這些性質與“基本圖形”對應的關系——對圖形的分解能力是應用相應性質解決幾何問題的重要能力。

（二）聚焦圓及其他圖形之間關系的問題變式

復習課承載了對某一階段知識的綜合應用需求，需要由單一的解決問題能力的培養轉變為多維的問題解決素養的培養，促使學生“解一題，會一類”。圓的眾多元素和元素關系往往體現在包含圓及其他圖形的綜合性問題中。因此，聚焦圓及其他圖形之間關系的問題，以此為基礎引導學生變式聯想，發現結論并證明，提出問題并解決，可以有效幫助學生體會幾何學習的方法，感悟圖形研究的途徑，是本節課另一個重要的教學價值。

二、教學過程

（一）借助圓的基本圖形，重建知識結構

師（在黑板上寫好課題，畫6個一樣大的圓）同學們，今天我們一起來復習《對稱圖形——圓》這一章前4節的內容。通過這部分內容的學習，我們知道確定一個圓需要兩個基本元素，分別是圓心和半徑。（板書圓的基本元素）那你知道圓還有哪些相關元素嗎？

生圓的相關元素有弦、弧、圓心角、圓周角。

生還有直徑、半圓、扇形。

師通過前面的學習，我們知道直徑是過原點的弦，而半圓則是直徑所對的弧，扇形是由半徑和弧圍成的圖形。

（板書圓的相關元素，形成如圖1所示的板書。）

[設計意圖：首先，呈現新穎的板書設計，引發學生的好奇和關注，為后續將這部分復習內容的“形結構”顯化提供有效的操作平臺。然后，直接點明這節課需要復習的內容和需要研究的對象，問題直指圓的基本元素和相關元素，使學生心中有數且不感到困難。這樣的板書設計，旨在引導學生對還沒有顯化的知識結構建立聯想的基礎。]

師同學們對這些相關元素的認識很清晰。在前面的學習中，我們還發現圓具有軸對稱性和旋轉不變性。這就決定了圓中的這些元素不是孤立的，而是有聯系的，從而形成了圓的一些基本性質。下面，請同學們結合這部分學過的圓的基本性質，畫出與之相關的一些基本圖形。

（學生畫圖。教師巡視，發現有些學生只畫出一兩個基本圖形，就不再畫下去了。）

師你能借助目前畫出的圖形復習哪些性質？還有哪些性質沒有通過圖形體現出來？

（學生繼續畫圖。教師巡視，請學生逐一上黑板在之前6個圓的基礎上畫出圓的基本圖形。）圖1

圖2

師請大家想一想：你能從這些基本圖形里想到哪些性質？

（教師就每個圖形提問，學生逐一回答對應的性質，教師在板書上進行結構化連線，形成如圖2所示的板書。）

師對于這些性質，我們不能單純從文字上記憶，而要結合這些基本圖形進行理解記憶。

[設計意圖：以“形結構”形式進行知識結構的重建，幫助學生回顧基于圓的軸對稱性與旋轉不變性的相關性質。這樣的回顧方式不同于較為傳統的以文字和符號語言為主的平鋪直敘式，而是以“形”的顯化方式喚醒學生腦海里的如貝似星的知識。以“形”助“文”，以“文”構“形”，將幾何學習中的主要性質結合基本圖形予以體現。]

（二）基于圓的典型圖形，進行問題變式

1.由基礎習題展開初步聯想，滲透數學思想。

師在幾何問題中，很多復雜的圖形都是由這樣的基本圖形組合而成的。化繁為簡、“化新為故”，是我們解題的基本方向和策略。（出示習題）下面，讓我們結合習題來進一步鞏固圓的這部分相關性質與基本圖形。

習題如圖3，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D是劣弧AC的中點，DE⊥AB于點G，交⊙O于點E，交AC于點F。你有何發現？怎么得到的？

圖3

（學生獨立思考約3分鐘。）

師你能發現哪些線段和角的數量關系？你能發現哪些線段之間的位置關系？有沒有特殊的圖形？請將你所有的發現寫下來，然后同桌、前后交流一下你的發現。

（學生書寫、交流。教師巡視。）

師（投影出示一些學生的發現）這里有很多結論都是我們之前新課學習中證明過的，但也有幾個新的結論。（投影出示一個學生的發現）請大家看一下這位同學的發現：AC=DE。這個發現你能證明嗎？

（教師組織學生思考如何證明，寫出證明過程，然后投影展示。）

師解決這樣的問題，我們一般要經歷四個環節。首先，要明確做什么。（板書“做什么：求證AC=DE”）其次，要思考怎么做。（板書“怎么做”）剛才這位同學的思路很清晰。怎么做？我們先看一看要證明的兩條線段有什么屬性，或者說有什么“身份”。這里，它們可以是圓O的兩條弦，也可以是兩個三角形的各一條邊。這樣就至少有兩個方案。我們可以先考慮第一個方案，從弦的屬性出發來思考。要證明弦相等，結合前面梳理的基本定理，我們要證明它們所對的弧或圓心角相等，即要證AC=DE。由已知條件可得AD=DC，由垂徑定理可得AD=AE。這樣，三段弧相等，證明AC=DE就水到渠成了。（在“怎么做”后板書“AC=DE←AC=DE←AD=DC，AD=AE”）這樣的思考就是“怎么做”的過程。然后，要“做做看”，就是要從條件出發，將證明過程寫出來。（板書“做做看：AD=DC，AD=AE→AC=DE→AC=DE”）如果思路正確，那么“做做看”的過程就要注意細節和規范的問題。最后，要在問題解決后反思有什么收獲。（板書“有什么收獲”）數學題目是做不完的，而反思可以幫助我們對類似的問題一以貫之地進行思考，也就是形成“通法”。那么，大家想一想：通過這個問題的解決，我們的收獲是什么呢？

（學生敘述收獲。）

師（投影出示另一個學生的發現）你能證明∠DFC=2∠DCF這個發現嗎？請說一下思路。

（教師組織學生說出證明思路，并做點評。）

[設計意圖：給出開放設問的習題后，給學生足夠的時間獨立思考，將自己的發現先寫下來、互相交流。在這一過程中，學生基于前面基本圖形下的主要性質進行聯想，獲得比較多的發現;在交流碰撞中，提高聯想的廣度和深度。在此基礎上，教師選擇“AC=DE”這一發現，組織學生證明，是為了讓學生能夠對自己的發現進行有條理、有依據的表達。教師的總結還體現了波利亞的解題四步驟思想，滲透了上位的數學思想方法。在教師小結四步驟的基礎上，學生已經初步明白了自己所經歷的過程。教師繼續讓學生證明一個新的發現，讓學生進一步鞏固這個完整的過程。]

2.由變式習題展開進一步聯想，培養提問能力。

師我們如果認真觀察，便可發現上述習題中的這個圖形其實是借助了圓的軸對稱性和旋轉不變性來研究的，雖然略為復雜，但只要分析清楚研究對象的“身份”，尋求與其“身份”關聯的元素，借助對基本圖形的分解和由條件得到的“最近聯想”的重組，就可以解決。（出示變式）下面，我們繼續在這個圖形上變化，請看變式。

變式如圖4，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D是劣弧AC的中點，DE⊥AB于點G，交⊙O于點E，交AC于點F，連接BD，交AC于點H。之前，多數同學發現了線段和角的數量關系，一些同學還發現了一些特殊的三角形，那么在連接BD的基礎上，你能找到哪些特殊的三角形？你能證明嗎？

圖4

（學生獨立思考約2分鐘。）

生從直觀上看，△ADC、△ADE和△ADF是等腰三角形。

師對比原問題，這里連接了BD，你還有哪些新的發現？

生△DFH也是等腰三角形。

師△DFH是等腰三角形，你能證明嗎？大家寫寫看。

（學生寫出證明過程，然后進行展示。）

師△DFH是等腰三角形的發現源于“連接BD”的變化，這實際上是顯化了圓的一條弦。因此通過添加元素強化條件，可為我們對圖形進行變式提供方向。

[設計意圖：在原來習題的基礎上通過增加“連接BD”的條件，引導學生進一步發現可能得到的新結論。這是對基本圖形深層次的挖掘，是對學生“化繁為簡”的能力深層次的考驗。這里，期待學生能夠“化新為故”，使其得到的新結論基于前面研究中的獲得。這種“獲得”體現在三個層面：首先，習題中聯想得到的結論是變式中進一步聯想的基礎;其次，習題中進行聯想的方向（線段、角的數量關系、位置關系及圖形的形狀特殊性）為變式中的“再發現”提供了研究途徑;最后，變式添加條件的方式相當于顯化了圓的一個相關元素（弦），這樣通過添加相關元素來添加條件的方式也為學生在自主學習中進行圖形變式提供了方向。]

師你還能提出什么問題供大家思考？

生△DFH是等邊三角形嗎？

師這個問題很好！誰來回答？

生我覺得不是的。

師那你覺得有沒有可能是？

生有可能。

師什么情況下可能？

生AC是∠DAB的平分線時。

師AC是∠DAB的平分線，那從點C的角度來說，在圓上什么特殊的位置呢？

生點D、C是AB的三等分點。

師很好！怎么來證明呢？我相信在座的一些同學會有思路。我們留在課后交流。（稍停）今天這節課，老師和大家一起，從基本元素出發，借助“形結構”，回顧整理了圓及相關的概念和性質，形成了知識結構。在解決問題時，我們結合波利亞的解題四步驟，將復雜的圖形結構進行了分解重組。對于一些最近聯想的問題，要根據縮小已知和目標的差距進行演繹，從而提高我們的推理能力。（稍停）當然，圓的學習并無止境，圓又常和其他圖形存在一些內在的聯系。（出示圖5）大家可以連接變式圖形中的BE、BC，再把圓隱去，從而得到這樣一個由三角形和四邊形組成的復雜圖形。在后面的學習中，我們如果能做到“眼中無圓，而心中有圓”，那么解決問題的途徑就又多了一條。

圖5

[設計意圖：在學生猜想結論（發現）的基礎上，讓學生提出問題，進一步引導學生強化條件進行聯想，培養學生的問題意識，拓展學生學習的可能空間。之后，教師沒有提出“你有什么收獲”這樣的問題來進行小結，而是基于學情，概括性地“點睛”“收湯”，從而升華學生本節課的數學活動經驗。最后，留下一個數學味道更濃、思維含量更高的變式圖形，把學生的思考延伸到課后。]

三、教學反思

（一）關注元素及元素關系的知識結構生長

“結構化是能力發展的前提之一。”復習課要關注知識結構的重建及“再生長”。本節課的復習，不只是讓學生體會到圓的主要性質其實就是基于圓的整體性質（軸對稱性與旋轉不變性）的元素及元素關系的特征，還應該啟發學生借助這樣的理解，認識幾何圖形性質的研究與學習主要可以通過三個觀點來看：一是整體與整體、整體與局部、局部與局部的聯系;二是變中不變、不變有變;三是分解重組、轉化為一。這三個觀點從本質上理解則是知識的結構觀、系統觀和模型觀，是數學知識“再生長”的體現。

（二）突出“強化、弱化、互逆化”的問題變式聯想

復習課相對于新授課而言，學生已經有了較為全面的知識和技能基礎。選擇好的習題作為載體，進行數學思想方法的滲透和問題解決能力的培養是復習課的主要特征之一。本節課以一道題為“母題”，進行不斷“強化”條件下的發現探究，是對這個載體進一步變式的一種類型。在教學中，我們不僅需要關注這樣的設計，還應該啟發學生自主進行這樣的演繹。我們需要提供變式的方法，即“強化、弱化、互逆化”以及“強化”下的“特殊化”和“弱化”下的“一般化”;還要指導學生明確對條件進行“三化”或“五化”的出發點和方向。本節課聚焦“強化，即添加元素來發現可能出現的新的線段、角的數量關系，以及圖形的位置關系、特殊性”。在這樣的研究過程中，學生會逐漸形成自己的變式聯想。

（三）通過“適時分步介入”調整教學節奏

好的復習課既要有數學本質及思想的“學術味”，也要有學生學習的“人情味”。有了“學術味”的復習課能夠凸顯數學的本質，將數學知識的內在聯系顯化;有了“人情味”的復習課才能讓學生領悟數學思想，自然而然地建立數學認知結構。如何結合學情，將教師的數學理解變成學生的數學理解，途徑不一，方法很多。復習課雖然有系統性的特征要求，但是，對于學生自主形成數學理解，可以通過“適時分步介入”來調整節奏。“適時”是對學生在數學問題拋出后的學習狀態加強關注，以學生學習投入程度的表征為參考，選擇適合的時機進行教學干預。“分步”是對大問題在預設之后根據“適時”情況進行當機立斷的分解，因此多數情況下預設性和生成性追問必不可少。“介入”不是簡單的代替和講解，也不是個別優秀的學生代表與教師之間的“眉來眼去”，更多的是以小問題進行的“再啟發”和進一步借助輔助元素、輔助技術或輔助活動的“再引導”。這樣，我們的復習課才可以避免“老路復走無新調”的困境，才能夠體現數學知識的“再生長”性，才利于學生自然地走進“一覽眾山小”的境地。

本文系江蘇省南京市中小學教學研究2017年度第十二期課題“初中數學生長型教學研究”（編號：2017NJJK12Z18）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1]卜以樓.用生長型構架進行中考復習——“增長率問題”復習案例[J].中國數學教育（初中版），2010（3）.備課貼士