作圖活動驅(qū)動學程，關聯(lián)問題走向深處

劉東升 涂春華

摘要：人教版初中數(shù)學九年級上冊第二十四章《圓》的第1節(jié)《圓的有關性質(zhì)》、第2節(jié)《點和圓、直線和圓的位置關系》內(nèi)容的關聯(lián)性比較強，可以放在一個課時中復習。對于這節(jié)課，可以選擇特殊三角形，通過作外接圓、內(nèi)切圓等作圖活動驅(qū)動學程;在作圖的基礎上，打磨關聯(lián)問題串，促進學生想深、悟透;在解題的過程中，預設結構化板書，用思維導圖梳理知識;同時，關注經(jīng)典例題、習題，讓中考真題融入學程。

關鍵詞：《圓》復習課作圖活動關聯(lián)問題結構化板書

章末復習課沒有現(xiàn)成的教材，如何進行知識點的復習？如何精選或精編問題作為例題、習題？這些都是章末復習教學設計與實施的重點與難點所在。

人教版初中數(shù)學九年級上冊第二十四章《圓》的內(nèi)容較多，章末復習通常要花2—3個課時。其中，第1節(jié)《圓的有關性質(zhì)》、第2節(jié)《點和圓、直線和圓的位置關系》內(nèi)容的關聯(lián)性比較強，可以放在一個課時中復習。對于這節(jié)課，我們設計以作圖活動驅(qū)動復習進程，并在學生作圖的基礎上漸次生成一些數(shù)學問題，然后通過對這些問題的求解達到復習圓的相關知識點的目的。實踐下來，取得了較好的效果。本文整理該課的教學流程，并跟進闡釋教學立意，供分享與研討。

一、教學流程

（一）作三角形的外接圓

活動1（尺規(guī)作圖）分別作出直角三角形ABC和等邊三角形A′B′C′的外接圓。

教學組織：安排學生用圓規(guī)和直尺作出兩個特殊三角形的外接圓。預設以下問題：

問題1下頁圖1中，設三角形ABC的邊長分別為3、4、5，該三角形的外接圓O的半徑是多少？過點C作AB的垂線，交⊙O于點D，則弦CD的長為多少？

教學組織：求解時，運用垂徑定理，復習圓的軸對稱性質(zhì)。

圖1圖2

問題2圖2中，邊長為4的等邊三角形A′B′C′的外接圓O′的半徑是多少？如何證明∠A′O′B′=∠B′O′C′=∠A′O′C′？

教學組織：求解時，運用了圓的旋轉對稱性，復習弧、弦、圓心角之間的關系。

（二）找圓的內(nèi)接四邊形

活動2（補全圖形）將直角三角形ABC繞斜邊AB中點順時針旋轉180°，將等邊三角形A′B′C′繞邊A′C′中點順時針旋轉180°。

教學組織：將直角三角形繞斜邊中點順時針旋轉180°，得到矩形ACBD;將等邊三角形繞一邊中點順時針旋轉180°，得到菱形A′B′C′D′。預設以下問題：

問題3圖3中，矩形ABCD的四個頂點都在同一個圓上嗎？為什么？連接CD，弦CD的長是多少？作∠ACB的平分線，交圓于點P，求弦CP的長。

教學組織：追問矩形的四個頂點是否都在同一個圓上，可以引導學生再次復習圓的定義、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（對角互補）;而求弦CP的長，則需要構造出等腰直角三角形進行分析，是一道比較經(jīng)典的習題（在圖3中，有AC+BC=2PC）。

圖3圖4

問題4圖4中，菱形A′B′C′D′的四個頂點都在同一個圓上嗎？為什么？在C′D′、A′D′上分別取點E′、F′，使C′E′=D′F′，連接A′E′、C′F′，設它們交于點G′。有人說A′、B′、C′、G′四點共圓。你覺得有道理嗎？能否求出B′G′的最大值？

教學組織：學生可以利用全等求出∠A′G′C′=120°。通過這道題讓學生從正、反兩個角度理解圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（對角互補）。學生如果基礎較好，可以跟進“求出B′G′的最大值”。事實上，此時B′G′的最大值恰為該圓的直徑。此外，還可以結合學情，鏈接以下這道南京中考題：

△ABC中，∠A=60°，BC=4，∠ABC<∠ACB，指出邊AB的取值范圍。

（三）作三角形的內(nèi)切圓

活動3（尺規(guī)作圖）分別作出直角三角形ABC和等邊三角形A′B′C′的內(nèi)切圓。

教學組織：安排學生作出兩個特殊三角形的內(nèi)切圓。預設以下問題：

問題5圖5中，設三角形ABC的邊長分別為3、4、5，該三角形的內(nèi)切圓O與三邊的切點分別為D、E、F，求⊙O的半徑以及AD、BD的長，并用不同的方法求△ABC的面積。

圖5

教學組織：學生求三角形面積時，可能會求兩條直角邊乘積的一半，或者斜邊與斜邊上的高乘積的一半，或者內(nèi)切圓半徑與三角形周長乘積的一半。在此基礎上，引導學生對比AD·BD與△ABC的面積是否相等，并對問題作“一般化”思考：設AD=3，BD=4，對比AD·BD與△ABC的面積是否相等。然后，安排學生課后繼續(xù)挑戰(zhàn)思考：證明直角三角形ABC的面積等于AD·BD。

問題6圖6中，設等邊三角形A′B′C′的內(nèi)切圓O′與三邊的切點分別為D′、E′、F′，求⊙O′的半徑，并比較A′D′·C′D′與△ABC面積之間的關系。

圖6

教學組織：等邊三角形內(nèi)切圓的半徑容易求出，可以引導學生分析與前面的等邊三角形外接圓半徑之間的關系。在此基礎上，對比問題5中提到過的A′D′·C′D′與△A′B′C′面積的關系（S△A′B′C′=3A′D′·C′D′）。

（四）課堂小結，布置作業(yè)

結合上述復習進程中的一些知識梳理，將本節(jié)課的內(nèi)容完善成如圖7所示的結構化板書。

課后作業(yè)，設計如下兩道挑戰(zhàn)問題：

1.直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。在邊AC上（不包括端點）取一點D，過點D作DE∥AB，交BC于點E，以點D為圓心、DE為半徑作圓，當⊙D與邊AB恰有一個公共點時，分析CD的取值范圍。

2.三角形ABC中，∠A=60°，內(nèi)切圓與邊BC相切于點D，若BD=m，CD=n，求△ABC的面積。（用含m、n的式子表示）

二、教學立意

（一）選擇特殊三角形，用作圖活動驅(qū)動學程

本節(jié)課預設的前三個數(shù)學活動都從兩個特殊的三角形（邊長分別為3、4、5的直角三角形和等邊三角形）出發(fā)，分別作它們的外接圓、內(nèi)切圓，并將它們補成矩形和菱形（為復習圓的內(nèi)接四邊形服務）。這三個活動能有效復習《圓》這一章中幾個重要知識點和操作技能，同時又為生成新的問題提供了圖形背景，使得學生在思考相關問題時，不必再重新理解新的問題背景或“題干”條件，也使得各個教學環(huán)節(jié)之間平滑地過渡，達到較好的“轉場”效果。圖7

（二）打磨關聯(lián)問題串，促進學生想深、悟透

本節(jié)課設計的一些問題都是精心打磨而成的，意圖通過高質(zhì)量的系列問題漸次展開，促進學生想深、悟透，達到“做一題、會一類、通一片”的學習效果。如，活動1針對兩個特殊的三角形探求了它們外接圓的半徑，并關聯(lián)復習了垂徑定理以及弧、弦、圓心角之間的關系;活動2安排了系列問題，有效復習了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，并逆向思考了“對角互補的四邊形的四個頂點在同一個圓上”，還鏈接了一道較難的南京中考題，滲透了“定弦定角問題”的構圖分析法;活動3安排學生在作出兩個特殊三角形的內(nèi)切圓后，分別求出它們內(nèi)切圓的半徑，并引導學生深入思考兩個三角形面積的不同計算方法，結合學情相機追問，滲透從特殊到一般的研究方法;另外，在課堂小結后設計的課后挑戰(zhàn)問題也是活動3中問題5、問題6的遞進深入，學生研習之后可將這一類問題想深、悟透。

（三）預設結構化板書，用思維導圖梳理知識

在復習課的知識梳理環(huán)節(jié)，可將復習的主要內(nèi)容或知識點設計成結構化板書，在復習相關問題時將提到的內(nèi)容或知識點書寫在黑板上的相應位置，待課堂小結時完善結構化板書。本節(jié)課，我們借鑒了思維導圖的構思，讓學生從圓的定義、圓的基本性質(zhì)、與圓有關的位置關系等方面理解圓的相關知識點。需要說明的是，我們設計的結構化板書是漸次呈現(xiàn)的，而且是伴隨著學程的推進，對學生解題過程中提到的依據(jù)，由教師或?qū)W生即時寫在黑板上的相應位置（教師要有黑板區(qū)域的規(guī)劃，做到心中有數(shù)）的。這樣，在最后小結時，適當修改、勾畫、聯(lián)結，就可以得出完善的結構化板書。

（四）關注經(jīng)典例題、習題，讓中考真題融入學程

毋庸諱言，九年級復習課還要關注學生的“眼前利益”，即精準備考。在這個方向上，目前的復習課有一個習題選取的誤區(qū)，即從全國各地中考試題中找一些適合本節(jié)課復習內(nèi)容的新題，然后投入大量精力在這些試題的訓練、講評上。其實，這樣盲目地選練新穎考題的做法，擠占了關注教材例題、習題以及本地考題的深度學習的時間，是本末倒置。本節(jié)課中，我們選取的一些問題都是從教材典型例題、習題或南京（執(zhí)教班級為南京一中實驗學校的一個班）中考真題改編而來的，既引導學生回歸課本，又對本地中考的命題方向保持關注，體現(xiàn)了精準備考的選題追求。事實上，這也啟示我們章節(jié)復習的一種教學思路：教師深入研究教材典型問題，深度解析本地中考真題，并適當簡化、變式或拓展，從而帶領學生有效復習、精準備考。

本文系江蘇省南通市教育科學“十三五”規(guī)劃課題“基于‘三學’理念的初中數(shù)學課例研究”（編號：ZX2018007）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1]?劉東升.踐行“三學”，漸次生成“結構化板書”——以“分式單元起始課”教學為例[J].中學數(shù)學，2018（24）.

[2]?劉東升.從幾何研究的基本方法出發(fā)——用“作圖”驅(qū)動“點和圓的位置關系”教學[J].教育研究與評論（中學教育教學），2018（6）.

[3]?劉東升.“形散神聚”的主題，“淺入深出”的環(huán)節(jié)——中考二輪微專題復習課《無處不在的邊角關系》教學流程與立意[J].教育研究與評論（中學教育教學），2018（4）.