小議高中數學求軌跡方程的常用技法

紀建俠

動點軌跡（或曲線）方程的求法解析幾何的重要內容之一，同時又是高考的常考點。因此在求方程時，應根據曲線的不同背景，不同的結構特征，選用不同的思路和方法，才能迅速的解決問題。下面總結幾種常見的求法。

1.直接法

求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標互化”將其轉化為尋求變量間的關系。原則是求誰設誰，即設動點坐標為（x，y），根據已知條件及一些基本公式如兩點間距離公式，點到直線的距離公式，直線的斜率公式等，直接列出動點滿足的等量關系式，則可通過“建系，設點，列式，化簡，檢驗”五個步驟直接求出動點的軌跡方程，這種“五步法”可稱為直接法。

例1.已知線段AB=6，直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積是 ，求點M的軌跡方程。

解：以AB所在直線為x軸，AB垂直平分線為y軸建立坐標系，則A（-3，0）B（3，0），設點M的坐標為（x，y），則直線AM的斜率 ，直線BM的斜率 由已知有。 化簡，整理得點M的軌跡方程為

2.定義法

充分掌握各種特殊曲線的定義，通過圖形的幾何性質判斷動點的軌跡是何種曲線，再求其軌跡方程，這種方法叫做定義法，運用定義法，求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線，圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面幾何的一些性質定理。

例2.若 為 的兩頂點，AC和AB兩邊上的中線長之和是30，則 的重心軌跡方程是_______________。

解：設 的重心為G（x，y），則由AC和AB兩邊上的中線長之和是30可得

，而點 為定點，所以點G的軌跡為以B，C為焦點的橢圓。所以由2a=20，c=8可得

故 的重心軌跡方程是

3.待定系數法

若已知曲線（動點的軌跡）的類型，求曲線（動點的軌跡）的方程時，可用待定系數法求解。

例3.已知橢圓的對稱軸為坐標軸，O為坐標原點，F是一個焦點，A是一個頂點，若橢圓的長軸長是6，且 ，求橢圓的方程。

解：當焦點在x軸上時，設其方程為

則

所以，橢圓方程為

當焦點在y軸上時，設其方程為

則 ，所以方程為

4.相關點法（又稱為坐標轉換法）

轉移法求曲線方程時一般有兩個動點，一個是主動的，另一個是次動的，即點隨點動型。

當題目中的條件同時具有以下特征時，一般可以用相關點法求其軌跡方程：

①某個動點P在已知方程的曲線上移動； ②另一個動點M隨P的變化而變化；③在變化過程中P和M滿足一定的規律。

例4.已知P是以F1，F2為焦點的雙曲線 上的動點，求 的重心G的軌跡方程。

解：設重心G（x，y），點P（x0，y0），因為

則有 ，故 代入 得所求軌跡方程

5.參數法

有時求動點滿足的幾何條件不易尋找，也無明顯的相關點，但卻較易發現（或經分析可發現）這個動點的運動常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，截距或時間等）的制約，即動點的坐標（x，y）中的x，y分別隨另一個變量的變化而變化，我們可以設這個變量為參數，軌跡的參數方程，這種方法叫做參數法

例5.過點 作直線 交雙曲線 于A、B兩點，已知 。求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；

解：當直線 的斜率存在時，設 的方程為 ，代入方程 ，

得

因為直線 與雙曲線有兩個交點，所以 ，設 ，則

①

設P（x，y），由 得

∴ 所以 ，代入 可得 ，化簡得 即 ②

當直線 的斜率不存在時，易求得 滿足方程②，故所求軌跡方程為 ，其軌跡為雙曲線。（也可考慮用點差法求解曲線方程）