矩陣乘積的不同定義及其應用

趙小鵬 謝德曉

【摘要】：矩陣乘法在代數理論中用處廣泛，對于低階矩陣來說往往比較容易。而對于高階矩陣，合理的分塊將對于矩陣理論研究有著至關重要的作用，本文以常用分塊矩陣思想為出發點，剖析其矩陣乘積的結構特點。

【關鍵詞】：分塊矩陣? 矩陣乘積? 向量組的秩

一、矩陣的定義

1.矩陣乘積的一般定義：

i.矩陣的A列數等于矩陣B的行數;

ii.矩陣乘積AB的行數等于矩陣A的行數，列數等于矩陣的列數。

2.分塊矩陣下矩陣乘積的定義：

我們知道對于任意m×n的矩陣，行與列都可切割成若干組，且行與列組成若干個子矩陣，如果把矩陣A看成是由若干個子矩陣組成的，那么就完成了矩陣的分塊。

對于矩陣A與B的乘積AB來說，（以下假定矩陣AB有意義）矩陣A與B切割只要能使矩陣乘積AB有意義的切割都是可行的，以下列舉常用四種以分塊矩陣研究矩陣乘積定義的方法：

二、實例分析

典例1：利用分塊思想來證明矩陣乘積的秩的關系

典例2：分塊矩陣定義在解決高階行列式中的優越性

三、總結

對于計算低階矩陣乘積來說往往最基本的定義就已足夠，但大多情況下在研究高階矩陣時，不論是計算還是理論知識矩陣乘積一般定義就顯得不夠直觀，利用矩陣分塊的思想一分為二地的看待問題時能夠簡便許多;實踐證明：合理的切割分塊將有利于我們更好地去研究矩陣，這樣不僅把所謂的高階矩陣的“階數”降低而且使得分塊化的矩陣結構簡潔明了。適當的處理與合理聯系矩陣其固有性質有利于矩陣的秩、維數以及線性方程組的有關證明。

參考文獻：

[1] 北京大學數學系前代數小組.高等代數：第四版[M].北京：高等教育出版社，2013：176-177.

[2] 藍以中.高等代數簡明教程上冊：[M].北京：北京大學出版社，2002

[3] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數：第四版[M].北京：高等教育出版社，1997