講解列方程中有關(guān)數(shù)的問題的一點(diǎn)思考

黃春生

關(guān)鍵詞：加、減、乘、除、和、差、積、商、余數(shù)、倍數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、連續(xù)奇數(shù)、連續(xù)偶數(shù)、倒數(shù)、相反數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等。

初中階段在學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)數(shù)的問題，本人現(xiàn)將在教學(xué)中所積累的一些資料及體會(huì)提供給大家參考，并列舉了一些典型例題的講解，以便今后大家教學(xué)時(shí)給點(diǎn)幫助。

有關(guān)數(shù)的問題分成兩小類：一類是一般數(shù)的關(guān)系問題;另一類是用數(shù)字組成數(shù)的問題。

一般數(shù)的關(guān)系問題 ?這一類問題都比較簡(jiǎn)單的，只要懂得加、減、乘、除、和、差、積、商、余數(shù)、倍數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、連續(xù)奇數(shù)、連續(xù)偶數(shù)、倒數(shù)、相反數(shù)等，就可以根據(jù)題意列出方程。

例1：甲乙丙丁四個(gè)數(shù)的和為43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，都相等。問這四個(gè)數(shù)各是多少？

分析：（1）甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的8倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，都相等。如設(shè)這個(gè)相等的數(shù)為未知數(shù)，便可用含未知數(shù)的代數(shù)式來表示甲、乙、丙、丁各個(gè)數(shù)。

（2）甲乙丙丁四個(gè)數(shù)的和為43。∴甲數(shù)+乙數(shù)+丙數(shù)+丁數(shù)=43

根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系可得方程：

解1：設(shè)相等的數(shù)為χ，則甲數(shù)為;乙數(shù)為;丙數(shù)為;丁數(shù)為。

根據(jù)題意，得：+++=43，30（χ-8）+20χ+15χ+12（χ+4）=2580，77χ=2772，∴χ=36，甲數(shù)為==14，乙數(shù)為==12，丙數(shù)為==9，丁數(shù)為==8

答：甲、乙、丙、丁、四個(gè)數(shù)分別為14、12、9、8。

說明：本題如不設(shè)立輔助未知數(shù)則較繁。

解2：設(shè)甲乙丙丁四個(gè)數(shù)分別為x、y、z、u。

根據(jù)題意，得

從2得：2x+8=4z，∴x=2z-4（3），3y=4z，∴y=z（4），5u-4=4z，∴u=（5），以（3）、（4）、（5）代入（1）∴z=9，以Z=9分別代入（3）、（4）、（5），x=14，y=12，u=8

答：甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)分別為14、12、9、8。

例2：甲乙兩個(gè)數(shù)，甲數(shù)除以乙數(shù)得商2余17;如以甲數(shù)除乙數(shù)的10倍，則得商3余45。求這兩個(gè)數(shù)。

分析：①∵被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，∴設(shè)乙數(shù)為x，則甲數(shù)為（2x+17）。②∵甲數(shù)除乙數(shù)的10倍得商3余45。

解法1：設(shè)乙數(shù)x，則甲數(shù)為2x+17，根據(jù)題意，得10x=3（2x+17）+45，4x=96，∴x=24，∴2x+17=24×2+17=65，答：甲數(shù)是65，乙數(shù)是24。

說明：本題不宜設(shè)甲數(shù)為x。

解法2：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y。根據(jù)題意，得，以（1）代入（2） ?10y=3（2y+17）+45;∴y=24;代入（1），∴x=65

答：甲數(shù)是65，乙數(shù)是24。

解法討論，如上所設(shè)，又可得下列方程組：

說明：列方程應(yīng)盡可能列整式方程。

例1：一個(gè)三位數(shù)，如果把它的各位數(shù)字按相反順序?qū)懗觯玫臄?shù)比原數(shù)小99;已知三位數(shù)字的和是14;且中間一位數(shù)字是另外兩位數(shù)字的和，求這個(gè)三位數(shù)。

解：設(shè)這三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是x。根據(jù)題意，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和應(yīng)是7，∴百位數(shù)字是7-x，十位數(shù)字是7，因此，所求數(shù)可寫為：100（7-x）+70+x，列出方程：100（7-x）+70+x-99=100x+70+（7-x）;解得x=3

答：所求的三位數(shù)是473。

用數(shù)字組成數(shù)的問題 ?解這類問題，首先要知道什么叫兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等;其次要了解各個(gè)數(shù)位上的每個(gè)單位各表示多少。兩位數(shù)，就是用兩個(gè)數(shù)字組成的數(shù);三位數(shù)，就是三個(gè)數(shù)字組成的數(shù);四位數(shù)，就是用四個(gè)數(shù)字組成的數(shù)。以此類推。個(gè)位上的一個(gè)單位就表示一個(gè)單位;十位上的一個(gè)單位，相當(dāng)于個(gè)位上的十個(gè)單位;百位上的一個(gè)單位，相當(dāng)于個(gè)位上的100個(gè)單位。

例：一個(gè)三位數(shù)，它的百位上的數(shù)是2，十位上的數(shù)是，個(gè)位上的數(shù)是5。則此三位數(shù)是2×100+3×10+5=235。

關(guān)鍵先用未知數(shù)（或含未知數(shù)的代數(shù)式）來表示所求數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)，然后用代數(shù)式來表示這個(gè)數(shù)。

例如，一個(gè)三位數(shù)，它的百位上的數(shù)為a，十位上的數(shù)為b，個(gè)位上的數(shù)為c。那么這三位數(shù)是100a+10b+c。如果百位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)對(duì)調(diào)，那么新的三位數(shù)是100c+10b+a，而不是且abc，且記。

注意點(diǎn) 如果要求一個(gè)三位數(shù)，最后一定要把這三位數(shù)寫出來，而不能只求出各數(shù)位上的數(shù)就完事了。

例：有一個(gè)三位數(shù)，數(shù)位上的數(shù)和是15，百位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的差是5，如顛倒數(shù)位上的數(shù)的順序，則所成的新數(shù)比原數(shù)的3倍小39，求這個(gè)三位數(shù)。

分析：①要求這三位數(shù)，必須知道這三位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)。∵顛倒數(shù)位上的數(shù)的順序比所得的數(shù)比原數(shù)大。∴個(gè)位上的數(shù)一定大于百位上的數(shù)。②設(shè)百位上的數(shù)為x，則個(gè)位上的數(shù)為（x+5），十位上的數(shù)為15-（x+x+5），即10-2x。③原數(shù)為100x+10（10-2x）+x+5;新數(shù)為100（x+5）+10（10-2x）+x。④新數(shù)比原數(shù)的3倍少39。