高等數學中極限定義的教學分析

武文娟

摘 要：極限是高等數學的理論基礎，是步入高等數學殿堂的門檻，學好極限就為后面的連續函數、導數、定積分、級數等內容奠定了堅實的基礎。本文結合學生特點及多年的教學經驗，由數列極限推廣到函數極限，由極限的定性描述過渡到精確定義（ε語言），使學生深刻理解極限的內涵。

關鍵詞：極限;“ε-N”;“ε-δ”;精確定義;描述性定義

極限是高等數學的基礎，高等數學中幾乎所有的重要概念，如連續、導數、定積分、重積分、級數等定義都是建立在極限定義的基礎上.極限的定義是學習高等數學過程中遇到的第一個較難理解的概念，多年教學時間表明，凡是高等數學學習吃力的學生，多屬于對極限定義理解不透徹，因此正確理解和運用極限的定義和極限的思想方法是學好高等數學的關鍵，也是教學中的重點和難點。

一、極限定義的發展史

縱觀極限定義的發展史，從由來、發展直到完善，經歷了很漫長的時間。極限的思想可以追溯到古代，它是建立在對無限可分性認識的基礎上的，如魏晉時期劉徽的”割圓術”、古希臘人的“窮竭法”。16世紀歐洲生產力的極大發展為極限思想的發展提供了社會背景，起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立了微積分，后因遇到邏輯困難，在晚期不同程度接受了極限思想。尤其牛頓所運用的極限概念已經非常接近于極限的直觀性定義，但他們所應用的極限概念只是建立在幾何直觀上，并沒有給出嚴格的極限定義;直到18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅伊里埃等人先后陸續對極限做出過各自的定義，但都無法擺脫對幾何直觀的依賴。到了19世紀，法國數學家柯西在前人的基礎上提出了極限的描述性定義，但仍保留有幾何和物理的直觀痕跡，為了排除這些直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態抽象定義（精確定義）。

二、學生的自身特點

剛步入大學的學生，其思想還被高考的壓力禁錮著，還沒有完全適應大學的學習方法和教學方法。高中數學主要是計算，老師教一種方法，學生只需不斷加以練習直至掌握。而大學卻不是這樣，高等數學中各種各樣證明超級多，課堂上老師講課速度很快，兩節課，100分鐘都是老師在講，學生在下面聽。因為課時少，加上內容又多，老師通常一節課會講幾個知識點，學生要靠自覺性去消化吸收，整個知識體系體系也要靠自己去補充完善，大學沒有老師跟前跟后督促，沒有父母一刻不停的嘮叨，沒有鋪天蓋地的作業練習，就要求學生自發的學習，學生要學會自我管理、自我監督，另外相比較其他科目而言，數學的學科性很強，具有很強的抽象性。大部分學生對數學都有畏懼心理，都覺得數學很枯燥無味，不愿意學。并且極限定義的邏輯結構較為復雜，符號較多，數量關系錯綜復雜，這就導致學生在學習極限定義過程中會出現各種問題。

三、由極限的描述性定義到極限的精確定義

如何處理極限兩種定義的關系，歷來都是一個比

較有爭議的問題。因為描述性定義易理解但略顯粗糙、不精確，精確定義精確但是學生難以理解和掌握。究竟采用哪種定義應根據學生情況做到有的放矢，對于理工科學生完全可以采用精確定義加深學生對極限思想的理解。由于學生在高中階段已經學過極限的描述性定義，因此在教學過程中只需通過一些具體的實例，結合圖形，來加深對描述性定義中的兩個關鍵詞“無限趨近”的理解，在此基礎上，我們再進一步學習極限的精確定義。教學的關鍵是如何實現從極限的定性描述到定量分析。

總之，極限思想是高等數學學習中的重點、難點，教學過程中若有意識引導學生體會極限的思想方法，理解極限定義的實質，通過恰當的教學方法幫助學生掌握極限的描述性定義和精確定義，以讓學生在高等數學之后的內容學習中輕松過渡，為學好高等數學墊下堅實的基礎。

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