借助極徑ρ巧妙設計直線的參數方程

張方方

摘 要：從學生已經學過的極坐標中ρ的意義，從而推廣得到直線的參數t的幾何意義，進而得到直線的參數方程，即從已經學過的知識通過構建支架，讓學生達到一個更高的水平，符合最近發展區理論以及先行組織者理論。

關鍵詞：極徑;直線;參數

筆者每每在“直線的參數方程”新授課過程中，學生總是很難理解參數t的幾何意義，自己也嘗試翻閱了資料發現同仁們對于直線的參數方程有很多很好的教學設計，例如浙江省杭州市余杭高級中學曹鳳山老師采用從特殊到一般，從數軸上理解直線的參數方程中參數的幾何意義;南京師范大學附屬中學丁菁老師先已知直線上定點M0（x0，y0），以及傾斜角α，則當直線上的點M（x，y）在M0上方時，當直線上的點M（x，y）在M0下方時，從而歸納出直線的參數方程，t的幾何意義為|t|=|M0M|，即直線上任意一點M到M0的距離，這也是很多教師設計直線的參數的方程的普遍做法。筆者也嘗試過用以上的方法來設計這節課，但效果不佳，如何更好的引導學生理解t的幾何意義呢？“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”，為什么不可以從極坐標方程中ρ的幾何意義來引導推出t的幾何意義。于是筆者通過極坐標方程ρ巧妙設計直線的參數方程的一堂課。

參照《普通高中數學課程標準（實驗）》的要求，作為第一課時，確定如下的教學目標：從特殊到一般，從極坐標中M（ρ，θ）轉化為直角坐標（x，y）的過程理解ρ的意義，從而推廣得到直線的參數方程，理解其幾何意義;直線的參數方程的簡單運用，體會到直線參數方程相對于普通方程的優越性，提升數學運算能力;借助極坐標中極徑ρ推廣得到直線的參數方程的過程，提高學生的數學遷移能力，數形結合能力，提高數學抽象.邏輯推理核心素養。問題1：在物理或者數學中，哪些量是存在正負的？問題2：確定一條直線需要幾個條件？設計意圖：問題的設計可以讓學生回憶出位移，向量以及剛剛學習的極坐標中ρ這些量;問題?的設計可以讓學生回憶起確定直線的兩個條件：兩個點或一個點及其傾斜角，從而歸納出直線一旦確定，則直線上任意一點都已確定，為引出直線的參數t，直線的參數方程做好鋪墊。探究一：在極坐標中，直線中取兩點，將其轉化為直角坐標，并回答ρ=2，ρ=1的幾何意義。探究二：若已知直線，以及直線上定點M0（1，1），則直線上任意一點M（x，y）能否用M0及其θ表示出來？師生活動：有了探究一的鋪墊，有學生回答為當M點在M0上方時，，當M點在M0下方時，。此時教師再追問該學生，從你的回答可知不管M點在M0上方或者下方，ρ都要滿足大于0，但是從剛剛探究一可知ρ一定大于0？

師生活動：此時學生幡然醒悟，這時教師順勢要學生歸納出已知定點M0（1，1），并指出ρ一般用在極坐標中，因此通常在直角坐標系中，ρ用t來代替，此時t完美的完成了ρ的交接，并指出t的幾何意義，t表示M0到M之間的位移，數量來表示，當M點在M0上方時，t>0;當M點在M0下方時，t<0，當M點在M0重合時，t=0，|t|表示M0M之間距離。

探究三：提問學生，能否將此直線一般化，寫出直線過定點M0（x0，y0），及其傾斜角θ的直線的參數方程。設計意圖：探究一到探究三從易到難，從特殊到一般，環環相扣，最終攻破本節課難點。從學生已經學過的極坐標中ρ的意義，從而推廣得到直線的參數t的幾何意義，進而得到直線的參數方程。這也是本節課的精彩之處，從已經學過的知識通過構建支架，讓學生達到一個更高的水平，符合最近發展區理論以及先行組織者理論。

寫出過定點（2，-4），傾斜角為Π的直線的一個參數方程;設計意圖：理解直線的參數方程的形式特征，體驗寫出直線參數方程的步驟與方法，為運用直線的參數方程求解問題做好鋪墊。設計意圖：對于問題?的解答學生傾向于聯立直線與拋物線的普通方程求解，這也是在沒有學直線的參數方程時的通法，但計算比較繁瑣，這個時候引導學生從直線的參數方程來思考則要簡單的多，特別對于問題?運用直線的參數方程優勢非常大，學生反應很激烈，進一步體會到直線參數方程t的幾何意義。整理總結歸納提升讓學生自己歸納出直線的參數方程的知識點，及其涉及的數學思想方法，特別是參數t的幾何意義和在解決問題過程中用到的從特殊到一般，數學結合的數學思想。布置作業課后思索作業：課本習題1.2題

參考文獻

[1]曹鳳山.“直線的參數方程”（第一課時）教學設計[J].中學數學教學參考（上旬），2017，6.

[2]丁菁.“直線的參數方程”（第一課時）教學設計[J].中學數學教學參考（上旬），2017，6.