函數單調性在函數不等式證明中的應用分析

摘 要：在數學考試中，證明函數不等式成立是考試的熱點，同時它也是數學教學中的重點內容。在實際的教學工作中，筆者發現許多學生在學習函數知識時，往往摸不著頭腦，解題思路不明確，有時浪費了大量的時間卻得出了錯誤的答案，基于此，本文介紹了函數單調性與函數不等式的聯系，并總結了幾種利用函數單調性證明函數不等式的方法，淺要分析了函數單調性在函數不等式證明中的應用。

關鍵詞：函數單調性;函數不等式;不等式證明

前言：不等式證明是最令學生們頭疼的問題，由于不等式證明的解題模式不是固定不變的，所以學生在面對這類問題時很容易出現失誤，常此以往就會使學生的學習興趣大幅降低，為此，數學教師需要轉變教學方法，使學生全面掌握函數知識，提升解題效率。

1.函數單調性與函數不等式概述

函數知識是中學數學學科的教學重點，在數學試卷中占有一定的比例，學生們若想提升數學成績，必須全面掌握這部分內容。數學教材中，函數知識的學習內容包括函數奇偶性以及函數單調性，學生在掌握函數單調性的基礎上，可以提升自身解決數學問題的能力。對于函數知識來說，常見的考點是利用函數的單調性把一些難度較大的數學題進行化簡，然后展開進一步的計算，可以在提高解題效率的同時，保證計算結果的準確性。解答函數問題的基本步驟是通過已知條件，分析數學問題，并明確解題的思路，通過此種方法，可以避免在解題的過程中發生失誤。

在數學學科中，不等式常用來表示各個變量之間的關系，在考試內容方面，大多考察學生證明不等式成立的能力，數學教師在實際的教學過程中，為確保函數不等式證明活動的順利進行，需要引導學生們利用函數的單調性，對函數不等式進行證明。例如：可以用y=f（x）代表函數的數值，使其在[a，b]區間內恒成立，則當函數的數值在（a，b）范圍內時，可以求出f（x）>0，使函數f（x）在（a，b）單調數量逐漸增加。除此之外，還可以使y=f（x）在（a，b）范圍內小于0，如此一來，則證明此函數關系式為逐漸遞減的函數，進而推動函數不等式證明工作的順利開展。

2.函數單調性在函數不等式證明中的應用

2.1利用函數單調性證明區間不等式成立

在證明不等式成立時，可以用f（x）代表函數的單調性，然后在計算的過程中可以首先對不等式進行移項處理，然后開始計算不不等式，將其中一邊的數值設置為0，另一邊為f（x），將題目中的已知條件帶入不等式，求出函數f（x）的數值大小，繼而分析函數單調性中的符號，指出當中存在的問題，在此基礎上提出針對性的解題方法，對函數f（x）的單調性進行判斷，順利完成不等式證明工作。除了上述方法之外，還可以把函數不等式中的部分符號用f（x）表示，然后根據已知條件，判斷f（x）的單調性，把函數不等式的范圍帶入到函數不等式當中，求出函數不等式在端點處的數值大小，并比較f（x）與計算結果的大小。

簡單地來說，利用函數單調性證明區間內函數不等式成立的步驟主要分為3步：（1）采用移項的方法，使函數不等式一側為f（x），另一側是0。（2）求解導函數，對導函數的符號進行判斷，明確在題目所給的區間范圍內，導函數為遞增函數還是遞減函數。（3）求出區間范圍內函數不等式的極限值，將計算結果與f（x）的大小進行比較。

例如：已知函數，當時，不等式恒成立，則實數m的取值范圍是（）.

A. B. C. D.

解題時，可先畫出函數的草圖，并由此判斷函數在上單調遞減，再根據題中條件，可以得到，即，在上恒成立，從而得到，即，故選B.

除了上述這種不等式的形式外，還有些不容易直接找出函數關系的不等式，這時解題者可以分析函數的特點，對不等式進行變形處理，然后再設置合適的函數以及變量，之后再進行求解。

2.2利用函數單調性證明不等式恒成立問題

在證明不等式恒成立問題時，需要構造一個輔助函數，得出解題所需的函數，在實際的證明過程中，如證明h（x）>0（）在區間D上恒成立的基本方法，是證明f（x）>g（x），然后通過f（x）在區間D上的單調性來證明f（x）存在最小值。例如：已知函數。若關于x的不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍。探求參數的取值范圍問題，可運用變量分離法將原問題轉化為求函數的最小值，利用u（x）在（0，1）上單調遞減，在上（1，+∞）單調遞增，所以u（x）的最小值為，進而可求得a的取值范圍。

對于恒成立和存在性的問題，常用的解法是分離參數，將問題轉化為求函數最值的問題處理，解題常用的結論：若a>f（x）有解，則a>f（x）min，若a

總結：綜上所述，借助函數單調性，可以降低不等式證明的難度。教師在教學過程中，應當加強基礎知識的教學，使學生的解題思維能力得到進一步的提升，提高課堂教學效率。為此，教師可以充分考慮上述內容，提升學生的解題技巧。

參考文獻

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作者簡介：徐旭芳（1971.11-）;性別：女;籍貫：福建福安;學歷：本科;單位：福安市高級中學;職稱：中學一級數學教師