輕沙走馬路無(wú)塵

農(nóng)蘭東

隨著高考改革的深入，高考過(guò)程中高中數(shù)學(xué)有著重要的地位和作用，受到教師和學(xué)生的重視。在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，難題是學(xué)生學(xué)習(xí)的困難和障礙，難題解題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)重視難題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生難題解題技巧，豐富學(xué)生的解題技巧和方式，突破難題解題大關(guān)，理解數(shù)學(xué)難題背后的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。文章中結(jié)合數(shù)學(xué)解題幫助學(xué)生突破數(shù)學(xué)難題，培養(yǎng)學(xué)生解題技巧。

一、明確題目意圖，優(yōu)化難題解題條件

新課程改革的不斷深入，高考中數(shù)學(xué)問(wèn)題考查方式不斷變化，對(duì)數(shù)學(xué)題目賦予新的內(nèi)涵。因此，難題解題教學(xué)的過(guò)程中，利用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，教師需要將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單性的轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生明確題目意圖，進(jìn)而完成題目的有效解答。例如，人教A版高中數(shù)學(xué)必修二“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”教學(xué)中，例題：已知圓C：x2+y2+x-6y+m=0和直線l：x+2y-3=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)，如果。（1）求解實(shí)數(shù)m的值。（2）如果R（x，y）是圓C上的任意一點(diǎn)，求解x+y-的最大值和最小值。

分析：在（1）解題的過(guò)程中，對(duì)題目中的已知內(nèi)容進(jìn)行分析，將直線進(jìn)行化解，帶入到圓C的方程中，根據(jù)向量為零進(jìn)行計(jì)算得出m的值。（2）問(wèn)題的解答中，可以將x+y-看過(guò)一條直線，求解圓心和直線的距離，可以得出其最值。

解：（1）∵x+2y-3=0，∴x=3-2y，帶入到x2+y2+x-6y+m=0，化解可以得出5y2-20y+12+m=0.假設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），所以y1+y2=4，y1×y2=，∵，∴m=3。

根據(jù)（1）可以得出圓的方程是，∴圓心坐標(biāo)是（，3），半徑是。假設(shè)t=x+y-，轉(zhuǎn)化為直線x+y-t-=0，根據(jù)已知直線和圓有公共點(diǎn)，∴圓心和之間之間的距離不大于半徑，∴|t|≤，所以所求的最大值是，最小值是-。

總結(jié)：題目在解答的過(guò)程中，需要充分深入了解題目的意圖，考查學(xué)生直線和圓之間的位置關(guān)系，根據(jù)相應(yīng)的關(guān)系和定理準(zhǔn)確的把握解題方式，保證題目快速有效的解答。因此，在難題問(wèn)題解答的過(guò)程中，充分利用數(shù)學(xué)思想，明確題目的設(shè)置意圖，將問(wèn)題進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生有效解答問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解題能力。

二、加強(qiáng)學(xué)生反思和總結(jié)，豐富學(xué)生解題方式

高中數(shù)學(xué)實(shí)際的解題中，不少學(xué)生采取一題一解的方式，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題方式缺少歸類和反思。因此，高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生深入探究，探索數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法之間的聯(lián)系，通過(guò)反思和總結(jié)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生一題多解、多題一解以及多題歸一，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)解題方式，提高學(xué)生的解題能力。已知，如圖四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°。（1）證明：平面PAB⊥PAD;（2）如果PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。

分析，此題主要考查學(xué)生線面垂直的判定、面面垂直的判定，并且二面角的求解方式，屬于一個(gè)中檔的題目。在引導(dǎo)學(xué)生解題的過(guò)程中，需要讓學(xué)生從多個(gè)角度和層面思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力。在（1）的解答中，根據(jù)已知內(nèi)容可以得出PA⊥AB，PD⊥CD，根據(jù)AB//CD可以得出AB⊥PD，根據(jù)線面垂直可以判斷AB⊥平面PAD，進(jìn)一步可以得出平面PAB⊥平面PAD。在（2）的解答中，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)已知內(nèi)容得出AB⊥AD，得出四邊形ABCD是矩形，通過(guò)假設(shè)，求解出所用線段的長(zhǎng)度，構(gòu)建相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求解二面角的余弦值。

解（1）：∵∠BAP=CDP=90°，∴AB⊥AP，CD⊥PD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，得出AB⊥平面PAD。∵AB在平面PAB上，∴平面PAB⊥平面PAD。

解法一：綜合法。假設(shè)PA=PD=AB=DC=1，∴PB=BC=，取PB的中點(diǎn)O，連接AO、CO，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∴∠AOC是所要求解的二面角。在三角形AOC中國(guó)，AO=，CO=，AC=，∴cos∠AOC=-。二面角A-PB-C的余弦值是-.

方法2：向量法。在平面PAD中作PF⊥AD，垂足是F。根據(jù)（1）中可以得出PF垂直平面ABCD。將F點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA作為x軸的正方向，|AB|作為單位長(zhǎng)度，繪制相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系。所以得出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，A（，0，0）、P（0，0，）、B（，1，0）、C（-，1，0），∴（-，1-）、=（，0，0）、=（，0-）、（0，1，0），經(jīng)過(guò)相應(yīng)的求解，得出二面角的余弦值是-。另外，還可以引導(dǎo)學(xué)生利用等體積轉(zhuǎn)化的方式，求解二面角的余弦值。

總結(jié)：在解題的過(guò)程中，借助一題多解的方式，鍛煉學(xué)生靈活的思維，讓學(xué)生能夠舉一反三，豐富學(xué)生解題方式和思路，提高學(xué)生的解題能力。

結(jié)語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題能力能夠充分體現(xiàn)出學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生的解題應(yīng)當(dāng)是靈活多變的，作為數(shù)學(xué)教師需要重視學(xué)生綜合能力和素養(yǎng)的培養(yǎng)，創(chuàng)新課堂教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生掌握多種解題方式，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的解題能力。