解三角形中的一類取值范圍問題

徐娜

摘 要：解三角形問題是高考高頻考點，有一類題目值得關注，即已知三角形的一條邊a和邊所對的角A，求b+c，bc，b2+c2三者的最值（或范圍）。本文給出兩個例題，對比幾種解法的優劣。

關鍵詞：解三角形;取值范圍;正弦定理;余弦定理

解三角形問題是高考高頻考點，命題大多放在解答題的第一題，有一類題目值得關注。這類題有一個相同的特點，即已知三角形的一條邊a和邊所對的角A，求b+c，bc，b2+c2三者的最值（或范圍），或者是求三角形面積（或周長）的最值（或范圍）。

解決這類問題的處理方法主要有以下三種：

（1）利用余弦定理的變式：，配合基本不等式可得到b+c，bc，b2+c2的最值。

（2）在已知a，A的情況下，利用正弦定理求出2R（R為外接圓半徑），再通過邊角互化和代入消元，將多變量表達式轉變為關于角B（或角C）的函數，利用降冪公式，輔助角公式，從而將問題轉化為求三角函數的值域（最值）。

（3）利用三角形的外接圓，固定已知的一條邊，根據同弧所對的圓周角得，三角形的另一個頂點在圓周上運動，利用圓的對稱性以及數形結合可求出取值范圍。

下面給出例題，對比一下幾種方法的優劣。

例1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=2，向量，且。

求角A;

求△ABC面積的取值范圍。

解：（1）（略解）根據向量的垂直關系以及正弦定理，求出;

（2）法一：利用余弦定理和基本不等式：，當且僅當b=c等號成立;

所以，再根據三角形的面積公式即可求出.

法二：由正弦定理，

法三：如圖1，利用三角形的外接圓，固定已知的一條邊a，根據同弧所對的圓周角得，三角形的另一個頂點A在圓周上運動，畫出圖形，利用圓的對稱性，在優弧的中點A'處，三角形面積有最大值，此時b=c即為等邊三角形，可求出三角形的面積的最大值為;而當點A在圓周的左側（左右對稱）運動時，當點A無限趨近于點B時，此時面積趨近于0，從而可得取值范圍.

例2.在銳角三角形ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，若，則b2+c2的最大值是______.

解：根據正弦定理邊角互化，以及余弦定理，求出;

法一：利用余弦定理和基本不等式

，當且僅當b=c等號成立;

所以，即的最大值是6.

法二：.又為銳角三角形，

∴解得.

由正弦定理，

∴

又，∴，當時，可得的最大值是6.

法三：如圖2，利用三角形的外接圓，固定已知的一條邊a，根據同弧所對的圓周角得，三角形的另一個頂點A在圓周上運動，畫出圖形，利用圓的對稱性，在優弧的中點A'處，b2+c2有最大值，此時b=c即為等邊三角形，可求出b2+c2的最大值為6.

變式：在銳角三角形ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，若，則的取值范圍是______.

分析：變式將例2中“的最大值”，改成“的取值范圍”。例2在法一中，利用基本不等式求出最大值，那么能否求另一端的范圍呢？顯然是不行的。所以這種方法具有局限性，只能用來求最值，不能求取值范圍。法二中得到，又，∴，可得.法三中，當點A在圓周的左側（左右對稱）運動時（如圖3），當點A趨近于點B時，在變大，由題意為銳角三角形，則考慮臨界值，當時，易得，則，從而可得的取值范圍為.

對比以上兩個例題，例1，例2三個解法都可行，方法一和方法二適合解答題的解題步驟，雖繁瑣但細膩，屬于精細化的解法，而方法三利用數形結合，適用于選擇填空題，比較快捷方便，更快得到答案;而變式中求取值范圍，卻不能用余弦定理和均值不等式的方法，這個方法有局限性，只能求最值（等號成立的條件下），求出一端的范圍。所以我們在遇到這類問題時要明確目標正確選擇解題方法，以免解錯或用了繁瑣的方法。

參考文獻

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