對與“0”有關的主要問題探討

顏臘林

0是小學數(shù)學中極其特殊的數(shù)。說其特殊，主要是0在小學數(shù)學中的作用特殊，譬如：在直尺上，0表示起點;在溫度計上，0表示零上溫度與零下溫度的分界線;在數(shù)軸上，0表示正數(shù)與負數(shù)的分界點;在統(tǒng)計物體個數(shù)時，0表示一個物體也沒有;在計數(shù)時，0用來占位……0的這些不可替代的特殊功能，決定了對0的關注要遠超其它數(shù)字，與0有關的問題在教學中也頻頻出現(xiàn)，對0的詮釋也非同一般，與0有關問題的解決還需另辟蹊徑。特殊的數(shù)與特殊的功能，特別的問題與特別的解決辦法，難免會引發(fā)與0相關問題的困惑和爭議，小學數(shù)學教師面對這類問題也不禁感嘆道：“都是0惹的禍！”0到底惹了什么禍？迷茫中，筆者搜集整理了倍受教師關注的與0相關的幾個問題，并對此一一展開探尋，以期能為同行排疑解惑。

1.“0”為什么是自然數(shù)？

1993年之前，我國小學數(shù)學教科書指出：表示物體個數(shù)的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11……都是自然數(shù);1993年之后，我國小學數(shù)學教科書補充指出：一個物體也沒有，用0表示，0也是自然數(shù)。為什么要把0納入自然數(shù)的范疇？主要原因有二。其一，便于國際交流。世界上多數(shù)國家，尤其是教育發(fā)達國家都把0定義為自然數(shù)，為了國際交流的方便，國家技術監(jiān)督局于1993年12月27日發(fā)布的《中華人民共和國國家標準》（GB3100～3102-93）《量和單位》第311頁，規(guī)定自然數(shù)集N={0，1，2，3，…};在《現(xiàn)代漢語詞典》2005年6月第5版中也把自然數(shù)定義成：零和大于零的整數(shù)，即0，1，2，3，4，5，……。其二，滿足數(shù)學需要。高中數(shù)學中指出，有限集合中元素的個數(shù)是可以用自然數(shù)來表示的，空集是有限集合，而空集的元素個數(shù)為0，這就要將0納入自然數(shù)范疇，以滿足空集教學的需要。

2.“0”為什么不是最小的一位數(shù)？

由于受到將0劃歸為自然數(shù)的影響，部分教師認為最小的一位數(shù)是0，而不應該是1。其實，自然數(shù)概念的完善，并不影響到最小一位數(shù)的改變。首先，不妨看看有關定義。《數(shù)學﹝算術理論部分﹞》（上海教育出版社，1979年6月第1版，第10頁）指出：用一個數(shù)字記出的數(shù)（不是0），叫做一位數(shù)。例如：1，3，9……在一個數(shù)中，數(shù)字的個數(shù)是幾（其中最左端的數(shù)字不是0），這個數(shù)就叫做幾位數(shù)。其次，不妨進行假設后推理。如果最小的一位數(shù)是0，最小的兩位數(shù)就是00，最小的三位數(shù)就是000，……，依此而論，豈不荒謬至極。

3.“0”是余數(shù)嗎？

分東西時會出現(xiàn)兩種情況：一是剛好分完，一個不剩;二是有剩余，當余數(shù)比除數(shù)小時，就不能繼續(xù)分了。這兩種分法，分別對應余數(shù)等于0和余數(shù)不等于0兩種數(shù)學描述。所以，在數(shù)論中“整除”與“余數(shù)是0”是等價的概念，即“余數(shù)是0”就是“一個不剩”的意思。例如，所有的正整數(shù)除以3，根據(jù)余數(shù)可以把所有的正整數(shù)分成3類，即余數(shù)是0、余數(shù)是1、余數(shù)是2。為什么會提出“0是余數(shù)嗎”的質疑呢？這可能與平時不嚴謹?shù)恼Z言描述有關。如把“沒有剩余的除法”說成“沒有余數(shù)的除法”，把“有剩余的除法”說成“有余數(shù)的除法”。這種把除法分成有或沒有余數(shù)的描述，導致了認知沖突：既然沒有余數(shù)，怎么又冒出余數(shù)是0呢？

4.“0×0”為什么等于“0”？

0×0=0無疑是一道特殊的乘法算式。按照乘法的意義，0×0表示0個0相加，而0個0相加是無法寫出的加法算式，又怎能知道其相加的和為0呢？其實，0×0=0是經(jīng)過了“特殊——一般——特殊”的運算過程而得出的。因為0×3或3×0表示0+0+0，0+0+0的和為0，所以0×3=0，3×0=0;同理可知，0×5=0，5×0=0;0×8=0，8×0=0……從這些特例中經(jīng)過合情推理得出了一般性結論：0和任何數(shù)相乘都得0，再將這個一般性結論運用到0×0這一更為特殊的計算中，即可知道0×0=0。

5.“08”是分數(shù)嗎？

各個版本的小學數(shù)學教科書都將分數(shù)定義為：一個物體、一個計量單位或是一些物體都可以看作一個整體。把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數(shù)來表示。一個整體可以用自然數(shù)1來表示，通常把它叫做單位“1”。其中，分母表示把單位“1”平均分成的份數(shù)，分子表示從中取出的份數(shù)。從這樣的描述中不難發(fā)現(xiàn)，八分之零只是一種形式上的分數(shù)，俗稱“零分數(shù)”，即把自然數(shù)0寫成了分數(shù)的形式;八分之零并不是一個實質上的分數(shù)，即其雖然把單位“1”平均分成了8份，但其未能從中取出一份或幾份，取出的只是0份，也就是沒有取出，顯然不符合分數(shù)的定義。對此，有關數(shù)學專著早有明確，人民教育出版社出版的《基礎數(shù)學》第64頁定義分數(shù)時指出：“形如m/n（m和n都是正整數(shù)，且n>1）的分數(shù)叫做分數(shù)。”

6.“x=0”是方程嗎？

含有未知數(shù)的等式就是方程。從這一定義中可知，方程只一是含有未知數(shù)，二要是等式。從定義出發(fā)，毫無理由否認“x=0”不是方程。因此，可以說“x=0”是方程，是結構最為簡單的方程，是不需求解即可知其解的方程，是方程與方程的解完全一致的方程，但其更是一個毫無價值的方程。所謂方程的本質屬性是尋找和建構已知量與未知量之間的相等關系，從而通過已知求解出未知。在“x=0”中，未知早已是已知，又何苦要將已知轉化為未知呢？豈不是徒勞和無聊的折騰。

7.在研究因數(shù)和倍數(shù)的時候，為什么一般不包括“0”？

在“因數(shù)與倍數(shù)”這個單元中，人教版義務教育教科書五年級數(shù)學下冊第5頁用紅色字體強調指出：“為了方便，在研究因數(shù)和倍數(shù)的時候，我們所說的數(shù)指的是自然數(shù)（一般不包括0）。”北師大版義務教育教科書五年級數(shù)學上冊第31頁指出：“我們只在自然數(shù)（零除外）范圍內研究因數(shù)和倍數(shù)。”蘇教版義務教育教科書五年級數(shù)學下冊第30頁指出：“研究因數(shù)和倍數(shù)時，所說的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)。”為什么這些主流教材在研究因數(shù)和倍數(shù)時，都將0排斥在外？是不能研究還是沒有研究價值？從0×1=0、0×2=0、0×3=0……中，發(fā)現(xiàn)0是任何非零自然數(shù)的倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是0的因數(shù)。依此看來，的確是在研究因數(shù)和倍數(shù)時，如果把零納入進來，還是可以研究，只是失去了應有的研究價值。

8.“0”為什么不能做除數(shù)、分母或比的后項？

透過除法、分數(shù)和比的關系可知：甲數(shù)÷乙數(shù)==甲數(shù)∶乙數(shù)。如能明白除數(shù)為何不能為0的原因，即可知道分母或比的后項為何不能為0的道理。不妨對a÷0=b分兩種情況加以探究。當a=0時，a=0×b=0，此時商b可為任何不確定數(shù);當a≠0時，a=0×b≠0，此時商b不存在;不確定的商或不存在的商，都將會使除法計算變得毫無意義，因此，數(shù)學中規(guī)定除數(shù)不能為0。

9.“1∶0”在數(shù)學中不存在，為什么在生活中又常用？

在上面第8個問題的探討中，知道比的后項不能為0，故數(shù)學中不存在類似“1∶0”這樣的比。但在日常生活中，常常可見足球比賽的結果是“2∶0”之類比，這是為什么？不妨還是回到比的定義上進行探究。兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除，兩個數(shù)相除又表示兩個數(shù)的倍比關系，即“甲數(shù)÷乙數(shù)”，顯然乙數(shù)不能為0，所以比的后項不能為0。然而，生活中類似“2∶0”的比，表示的是兩個數(shù)量間的差比關系，即“大數(shù)-小數(shù)”，顯然小數(shù)可以為0。可見，數(shù)學中的比和生活中的比，雖然都稱之為比，但其意義有著天壤之別，不可等同視之。于此，筆者認為數(shù)學來源于生活，但數(shù)學并非等同于生活。

10.7.5×0.2的計算結果是一位小數(shù)還是兩位小數(shù)？

在教研活動中，老師們經(jīng)常問到判斷小數(shù)乘法的積的小數(shù)位數(shù)的問題。比如，7.5×0.2的計算結果到底是一位小數(shù)還是兩位小數(shù)？這類問題實際上就是判斷小數(shù)乘法中積的小數(shù)位數(shù)到底應該以計算法則為準，還是要看具體的計算結果的問題。筆者認為小數(shù)乘法中判斷積的小數(shù)位數(shù)，應以計算法則為主，至于積的末尾有0的情況是進一步需要解決的問題。因此，在出練習題時，最好不要出末尾有0來判斷積的小數(shù)位數(shù)的題目，因為這樣的考察沒有多大的意義。學生在具體計算時，只要按計算法則先確定積的小數(shù)位數(shù)，點上小數(shù)點，再根據(jù)計算的要求去掉小數(shù)部分末尾的0即可。