一道基于考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的中考試題演變的賞析

吳小穎

摘 要：數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)已經(jīng)悄然滲透到初中的教育教學(xué)之中，成為中考的新考向，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中考查的層次性也從習(xí)題走向考題、從簡單走向重構(gòu)、從解題走向問題、從建模走向創(chuàng)新。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);試題演變;賞析

“核心素養(yǎng)”的培養(yǎng)已成為當前教育教學(xué)的新指向，它不僅是高中教育教學(xué)關(guān)注的焦點，也悄然滲透到初中的教育教學(xué)之中。數(shù)學(xué)建模做為數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一，成為中考的新考向。本文以一道源于課本習(xí)題改編的中考試題的演變?yōu)槔轿鰯?shù)學(xué)建模素養(yǎng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中考查的層次性，與同仁共賞。

一、從習(xí)題走向考題

課本原題：（人教版九上第25頁第8題）如圖，利用一面墻（墻的長度不限），用20m長籬笆，怎樣圍成一個面積為 50m2的矩形場地？

答案解析：

解：設(shè)當AD的長為x m時，圍成的長方形場地面積為 50m2.

∵ 四邊形ABCD是矩形

∴ AD=BC （矩形的對邊相等）

∵ AD=BC AD=x m 籬笆長20 m

∴ AB=（20-2x） m ∵ AB=（20-2x） m ，? ?AD=x m

∴ 長方形場地的面積為 x（20-2x）m2（矩形的面積公式）

∵ 長方形場地的面積為 x（20-2x）m2當AD的長為x m時，圍成的矩形場地面積為 50m2

∴ x（20-2x）=50 ∴ x=5m

故當AD的長為5m時，圍成的矩形場地的面積為 50m2.

賞析：

本題是數(shù)學(xué)建模問題。解答此題的關(guān)鍵點在于根據(jù)已知條件及矩形的對邊相等確定籬笆圍成的圖形的長和寬，然后結(jié)合矩形的面積公式列出方程求解即可.本題旨在讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)建模的意義。

中考演變1：（2010年梅州）如圖，東梅中學(xué)要在教學(xué)樓后面的空地上用40m長的竹籬笆圍出一個矩形地塊作生物園，矩形的一邊用教學(xué)樓的外墻，其余三邊用竹籬笆.設(shè)矩形的寬為xm，面積為ym2.

寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍;

（2）生物園的面積能否達到210m2？說明理由.

答案解析：

解：⑴依題意得：y=（40-2x）x

∴y=-2x 2+40

x的取值范圍是0<x<20

⑵當y=210時，由⑴可得，

-2x2+4x=210， 即 x2-2x+105=0

∵a=1，b=-2，c=105， ∴ （-2）-4×1×105﹤0

∴此方程無實數(shù)根，即生物園的面積不能達到210 m2.

賞析：

本題豐富了課本習(xí)題的背景，更加貼近學(xué)生的生活，重點考查建模的數(shù)學(xué)思想及一元二次方程的根的判別式。但本題所涉及的數(shù)學(xué)建模，更多地是從數(shù)學(xué)技能和方法層面上來考量，數(shù)學(xué)建模能力水平還僅要求能在簡單并熟悉的情景下，識別出標準模型，直接將現(xiàn)實情景翻譯為數(shù)學(xué)模型，并嘗試解決數(shù)學(xué)問題，屬于數(shù)學(xué)建模的低級層次。

二、從簡單走向重構(gòu)

中考演變2：（2010年鄂州）如圖所示，一面利用墻，其余三面用籬笆圍成的矩形花圃ABCD的面積為s m2，平行于墻的BC邊長為x m

（1）若墻可利用的最大長度為10m， 籬笆長為24 m，且需要在花圃中間用一道籬笆隔成兩個小矩形，當圍成的花圃的面積為45m2時，求AB的長。

（2）若墻可利用最大長度為40m，籬笆長77m，中間用n道籬笆隔成小矩形，且當這些小矩形為正方形和BC邊長x為正整數(shù)時，請直接寫出一組滿足條件的x、n的值.

答案解析：

解：（1）根據(jù)題意，得

X·（24-x）/3=45，解這個方程，得x1=9，x2=15;

∵墻可利用最大長度為10m，而15>10，

∴x=15不合題意，舍去。故x=9.

答：AB邊長為9m。

（2）滿足條件的x、n 一組值為：x=33，n=2;x=35，n=4;? x=38，n=37均滿足條件。

賞析：

本題對課本習(xí)題進行了“深加工”，綜合性較強，考查了多個知識點。第（1）題要注意檢驗;第（2）題雖然只要求寫出答案，但必須對（1）中的數(shù)學(xué)模型進行重新建構(gòu)，要明晰邊BC被n道籬笆分成（n+1）等份;當每一個小矩形是正方形時，通過正方形的長、寬相等列出x與n相對應(yīng)的方程，并找出邊長x為正整數(shù)且小于可利用最大長度為40m時，x與n所對應(yīng)的正整數(shù)組值等。數(shù)學(xué)建模站在了“以生為本”的角度上重新審視和理解學(xué)生能力，著眼于讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。本題數(shù)學(xué)建模能力水平要求能在情景較為熟悉但較為復(fù)雜的非常規(guī)問題情景中，與熟悉的模型進行對照，進而轉(zhuǎn)譯數(shù)學(xué)模型，并嘗試檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇裕瑢儆跀?shù)學(xué)建模的中級層次。

三、從解題走向問題

中考演變3：（2018年福建中考改編） 如圖，平地上有一段長為a米的墻MN，有人利用墻和竹柵欄圍成一個長方形菜園ABCD，其中AD≤MN，長方形菜園的一邊靠墻，另外三邊一共用了100米竹柵欄.

（1）若a=20，所圍成的長方形菜園的面積為450平方米，求所利用墻AD的長;

（2）求長方形菜園ABCD面積的最大值.

答案解析：

解：（1）設(shè)AB=xm，則BC=（100﹣2x）m，

根據(jù)題意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，

當x=5時，100﹣2x=90>20，不合題意舍去;

當x=45時，100﹣2x=10，

答：AD的長為10m;

（2）設(shè)AD=xm，

∴S=（1/2）x（100﹣x）=﹣（1/2）（x﹣50）2+1250，

當a≥50時，則x=50時，S的最大值為1250;

當0

綜上所述，當a≥50時，S的最大值為1250;當0

賞析：

本題對課本習(xí)題進行了建模的拓展，沒有給定墻可利用的最大長度值，著重考查了分類討論a的取值范圍，進而改變自變量的取值范圍確定函數(shù)的最值。所涉及的數(shù)學(xué)建模落腳點在于問題的解決，它關(guān)注問題的求解，更關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)-----數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與優(yōu)化，它集開放性、實踐性、探究性和綜合性于一身。本題數(shù)學(xué)建模能力水平要求能在復(fù)雜且較為陌生的情景中，識別合理的現(xiàn)實模型，進而創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，以解決該數(shù)學(xué)問題，屬于數(shù)學(xué)建模的較高級層次。

參考文獻：

[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》.

[2]《透視課本習(xí)題與中考題》（中學(xué)生數(shù)理化 2011.7-8）作者王云峰.

[3]《注重數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)素養(yǎng)培養(yǎng)》（福建教育2018.第33期）作者陳燕梅? 鄭輝龍 .