數學建模思想在概率論與數理統計教學中的應用

杜輝 郭立豐 畢波

摘 要：概率論與數理統計是大學數學非常重要的一門課程，應用性很強，將數學建模思想植入到概率論與數理統計中，能有效的提高概率的教學效果。

關鍵詞：概率論與數理統計;數學建模;應用

一、前言

《概率論與數理統計》是近代數學的基礎，它和《高等數學》、《線性代數》構成了大學數學的重要組成部分。它的研究對象是隨機現象，在工農業生產、金融、保險、經濟與企業管理、醫學、地質學、氣象與自然災害預報等方面都有非常重要的應用，是高校各理工科專業非常重要的數學基礎課。

《概率論與數理統計》課程目前的教學現狀多是以理論講解為主，以教師為主的“滿堂灌”的教學模式。現階段，《概率論與數理統計》課程的教學亟待解決的問題是：如何改變枯燥的教學模式、激發學生的學習興趣，如何加強學生數學思維的培養，從而將其應用到解決實際問題中。通過多年的教學筆者發現將數學建模思想融入概率教學中是一種行之有效的方法。

將數學建模思想融入概率教學中，可以彌補傳統教學的不足之處，有利于推動大學數學公共課程的改革，對培養學生的數學思維和提高學生的數學素養有著重要的意義。在課堂上引入實際生活中的案例，應用相應的概率知識解決實際問題，能夠讓學生更好地了解改門課程相關知識的背景以及實際意義，能夠培養學生的創新能力、激發學生學習興趣，提高學生的團隊合作能力和解決實際問題的能力。[1]

二、概率論與數理統計中的數學建模案例

（一）等可能概型在實際問題中的應用

等可能概型，也叫做古典概型。它的基本思想是：一個試驗的所有的基本事件發生的可能性是相同的。這樣的概率模型叫做等可能概型，等可能概型中隨機事件的概率可以用相應的公式來計算。

例1 （遺傳問題）每個人的基因都是一份來自父親，一份來自母親.同樣地，他的父親和母親的基因也有兩份.在生殖的過程中，父親和母親各自隨機地提供一份基因給他們的后代。

以褐色的眼睛為例.每個人的基因都一份基因顯示他的眼睛顏色：（1）眼睛為褐色;（2）眼睛不為褐色.而“眼睛為褐色”的基因是顯性基因。用字母B代表“眼睛為褐色”這個顯性基因，用b代表“眼睛不為褐色”這個基因，則一個人眼睛顏色的基因有BB，bb（表示父親提供基因B，母親提供基因b），bB，bb，注意在BB，Bb，bB和bb這4種基因中只有bb基因顯示為眼睛顏色不為褐色，其他的基因都顯示眼睛顏色為褐色.假設父親和母親控制眼睛顏色的基因都為Bb，則孩子眼睛不為褐色的概率有多大？

分析：孩子有可能產生的基因有4種，即BB，Bb，bB ，bb（如右圖）.又父親或母親提供給孩子基因B或b的概率是一樣的，所有可以認為孩子的基因是這4種中的任何一種的可能性是一樣的，因此，這是一個等可能概型問題.只有當孩子的基因為bb時，眼睛才不為褐色，所以，“孩子眼睛不為褐色”這個隨機事件發生的概率為1/4=0.25。

（二）貝葉斯公式在實際問題中的應用

例 資料顯示，某國家某項傳染病血液檢測，患者呈陽性反應的概率為 95 %， 而健康人這種檢測的準確率（即沒有病的人檢查為陰性）為 99 %.經調查，該國家估計大約有1/1000的人患病.為了能有效地控制、減緩該病的傳播，曾有人建議對申請新婚登記的新婚夫婦進行這種血液檢查.該計劃提出后，遭到專家的強烈反對，下面利用貝葉斯公式分析專家反對這項計劃的原因。 [3]

設A={檢查為陽性}，B={患病}.由已知：

即檢測呈陽性則此人患病概率約為0.087.這個結果似乎與實際不符，但從資料顯示來看 ，這種檢測的精確性似乎很高.因此 ，一般人可能猜測， 如果一個人檢測為陽性 ，則他患有該傳染病的可能性很大，然而計算結果卻僅為8.7%.如果通過這項計劃，將會給申請登記的新婚夫婦帶來不必要的恐慌。

（三）中心極限定理在實際問題中的應用

例 某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加，每人每年交200元. 若老人在該年內死亡，公司付給家屬1萬元. 設老年人死亡率為0.017，試求保險公司在一年內的這項保險中虧本的概率？

分析：設X為一年中投保老人的死亡數，則Xb（n，p），其中n=10000，p=0.017，由德莫佛-拉普拉斯定理知，保險公司虧本的概率為

三、結論

在概率統計教學中，植入數學建模思想的有著重要的意義，它可以促進教學方法的創新，提高學生的學習興趣，加深學生對所學知識的理解，對促進人才培養有著積極的作用。

參考文獻：

[1] 張愛華，楊冬香數學建模思想融入“概率論與數理統計”的教學改革研究，科教文匯，2019年3月.

[2] 龔曙明.應用統計學[M].北京：清華大學出版社，2005.

[3] 楊靜，陳冬，程小紅.貝葉斯公式的幾個應用，大學數學，2011年4月

基金項目：

本文受如下項目課題資助，黑龍江省教育科學“十三五”規劃2019年度重點課題（GJB1319028），2018年度黑龍江省高等教育教學改革一般研究項目（SJGY20180060），黑龍江省教育科學“十三五”規劃2018年度重點課題（GBB1318022）。