在課堂教學中幫助學生構建數學模型的策略

高紅梅

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。在課堂教學中引導和幫助學生構建數學模型，能夠將抽象的數學概念變得直觀，將復雜的計算問題變得清晰，將規律探索變得生動，將解決問題變得豐富。因此，我們應該不斷地探究與思考構建數學模型的策略，以踐行課程標準的要求，為學生的數學學習打好基礎。

數學概念的形成是一個漸進的過程，我們需要通過有效的教學方式，幫助學生在頭腦中一步一步的積累對概念的認知。而建立數學模型，并通過數學模型支撐概念的形成，是概念教學中的一種重要的策略。教師應注重向學生提供感性材料，如學生熟知的生活實例、實物等，讓學生通過觀察、操作、分析、對比、抽象出對象的本質，從而形成概念。在形成概念時我們應注重引導學生建立相對應的模型。

例如，在教學“三角形三條邊的關系”一節課時，一位教師通過學生所熟悉的教學用具，一步一步地幫助學生建立了數學模型，并通過數學模型，使學生理解了“三角形三條邊的關系”的本質：

第一步，通過操作，初步認知。該教師將班級內的學生進行了分組，并為每個小組的學生分別準備了學具：分別為11厘米、7厘米、6厘米、4厘米的小木棒。規定可以從這四根小棒中任意選取三根，并讓學生帶著“通過拼、圍，你發現了什么”的問題，通過小組合作，動手操作，互動交流去觀察、探索和發現。通過操作，學生發現：取到的三根小棒有的能圍成三角形，有的無法圍成三角形。教師接著引導：“你發現在能圍成三角形的三根小棒之間有什么規律？”學生通過探究，得出了初步結論：當“兩邊之和大于第三邊”時就能圍成三角形。

第二步，通過論證，深入建構。學生能夠發現概念中的規律，這只是建立數學模型的第一步，發現規律后還應引導學生去質疑、去爭辯，只有通過論證，才能讓學生對數學模型的建構更加理解，也才能讓概念變得直觀。鑒于此，該教師又選擇了長度分別為4厘米、6厘米、11厘米的三根小棒為一組，讓學生去猜想這一組小棒能否圍成三角形。根據第一步操作得出的結論，很多學生都認為可以圍成三角形，因為“6+11>4”。同時，也有很多學生認為不能圍成三角形，因為“4+6<11”。到了這里，學生就產生了疑問和爭議，他們都想證明自己的觀點是正確的。這時，教師就讓學生放手去操作。在操作的過程中，認為能圍成的學生邊操作邊開始了思考，并把任意的三根小棒拿出來一邊圍，一邊比較，他們很快發現了新的規律：要想圍成三角形必須“三組的兩邊之和都要大于第三邊”，也就是必須“任意兩邊之和大于第三邊”。這時，學生已經能夠發現問題并深刻地理解了“任意”的意思，得出了“在三角形中任意兩邊之和都大于第三邊”的概念。這樣，通過一步一步的引導，學生逐漸建立了“任意兩邊之和都大于第三邊”的數學模型。

計算教學是小學數學教學中的重點部分，在計算教學中，相關的知識點有很多，每種知識點對學生來講都具有一定的抽象性。然而，計算教學中的很多知識點之間都是存在著一定聯系的，在教學中如果能利用知識點之間的聯系建立起數學模型，對幫助學生能夠順利地掌握這些知識點將會起到很好的效果。

例如，在教學“三位數乘兩位數”時，教學重點是要讓學生理解運算過程中的兩個積都是怎樣得到的，末位數應該怎么去確定位置，為什么要這樣確定位置。在教學時，可以寫出一個或者一組例題，讓學生先嘗試進行計算，然后讓他們說一說是怎樣算的，為什么這么算，每一步的運算依據是什么。學生通過小組交流可以逐漸把算法統一起來，得出他們自己的結論。通過對比、討論，最終可以讓學生歸納概括出乘數是兩位數的乘法法則：第一步，先用乘數的個位上的數去乘被乘數，得數的末位和乘數的個位對齊;第二步，再用乘數的十位上的數去乘被乘數，得數的末位和乘數的十位對齊;第三步，把兩次乘得的數加起來。這樣，學生就概括出了三位數乘兩位數的計算步驟，也就在計算法則的基礎上構建起了關于計算的數學模型。

探索發現規律實際上就是培養學生的模型思想，發現一個規律就是發現一個模式。在教學中，可以從學生所熟悉的生活經驗出發，引導他們經歷將實際問題初步抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程，進而加深他們對數學知識的理解。

例如，一位教師在教學“乘法分配律”一課時，讓學生經歷探索過程，自主構建模型。第一步，讓學生嘗試解決“用不同的方法買8套衣服要多少錢”的問題，然后引導學生觀察等式，提問學生：“發現了什么？”第二步，讓學生結合自己的發現嘗試著寫出兩個不完整的等式，引導學生進行觀察比較，并提問“又發現了什么？”第三步，讓學生再舉出一些這樣的例子，引導學生感受到這樣的例子是寫不完的。這時，可以讓學生觀察黑板上的許多等式，并提問：“這些等式數據各不相同，但它們有一點是相同的，是什么呢？”學生認為：“它們都是把左邊的算式先加再乘，右邊則先把兩個加數分別乘共同的因數后再加。”教師再追問：“能講一講相等的道理嗎？”在學生充分感悟的基礎上，師生再共同用語言來描述規律，這樣就引導學生自主構建了教學模型，并抽象概括出了用字母表示的模型，即：（a+b）×c=a×c+b×c。

從具體的問題抽象、提煉、構建出相應的數學模型，并不是學生認識的終結。建立模型后，教師還應將數學模型還原到具體的數學情境問題中，使已經構建的數學模型得以擴充和提升。

例如，在教學 “三位數乘兩位數”一節課時，在學生三年級時就知道的“單價×數量 = 總價”這一基本模型的基礎上，一位教師安排了兩道例題：1.籃球每個80元，買3個多少錢？2.魚每千克10元，買4千克要多少錢？那么，這兩個問題有什么共同點？教學中要如何建立學生的模型思想呢？首先，呈現例題后，教師要引導學生認真觀察與思考，并說一說題中所描述的情境。通過描述，讓學生知道這兩道題是關于總價的實際問題，并明確這兩道題都是已知每件商品的價錢，我們把它叫作單價，買了多少，我們叫數量，求一共需要多少錢，我們把它叫作總價。建立了這些概念后，讓學生再看題，找一找題中的數學信息，明確第1題中出示的是籃球的單價是80元，數量是3個，也就是求3個80元是多少。第2題中出示的是魚的單價是10元，買了4千克，也就是求4個10元是多少。因此，都用乘法計算。通過計算后明確單價、數量與總價之間的關系是“單價×數量=總價”，從而建立起了模型，并通過鞏固應用加深了對模型的理解。在這一單元的后面還有對“速度×時間=路程”這一模型建立的學習。同時，在第六單元除數是兩位數的除法中則是利用第四單元的乘法模型的變式模型“總價÷數量=單價”“總價÷單價=數量”“路程÷時間=速度”“路程÷速度=時間”來解決問題的。因此，這一模型思想的建立對后續這些相關的學習會起到很大的作用。

（責任編輯：楊強）