構(gòu)建數(shù)學(xué)模型提升思維能力

黃珠宏

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。首先就是要建立模型，從具體的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷“建立數(shù)學(xué)模型”的過程，有助于學(xué)生運(yùn)用知識解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和邏輯推理能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

一、基于學(xué)情，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生建模興趣

1.把握學(xué)情，遷移學(xué)習(xí)。學(xué)生原有的知識狀況就是已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法、乘法運(yùn)算定律，有一定的建模基礎(chǔ)。因此，建立乘法分配律數(shù)學(xué)模型的過程可以根據(jù)學(xué)生原有認(rèn)知模型進(jìn)行重組優(yōu)化。

【課前引入】

師：“同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些運(yùn)算定律呢？（加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律）想一想我們是怎么探究出這些規(guī)律的？”

師：是的，我們是在解決實(shí)際問題的過程中，發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律，并進(jìn)行舉例驗(yàn)證，最后得出結(jié)論。今天我們就用同樣的方法繼續(xù)研究其他的運(yùn)算定律。

通過復(fù)習(xí)檢測，教師可以把控學(xué)生對之前建模的步驟是否清楚，學(xué)生是否有建模意識？學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過交換律、結(jié)合律，經(jīng)歷過基礎(chǔ)建模，所以教師可以適當(dāng)放手讓學(xué)生自主經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程。

2.創(chuàng)設(shè)情境，解決問題。模型的創(chuàng)建要基于問題情境，根據(jù)耶克斯和道德森定律，任務(wù)比較容易，學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)強(qiáng)度會越高。

例如，在教學(xué)《乘法分配律》這一課時(shí)，通過熱門話題引入，廈門為迎接金磚峰會，學(xué)校也做了一些準(zhǔn)備，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)探索的欲望。解決班級購買校服以及宣傳板塊面積問題，都是學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，難度系數(shù)不大，學(xué)生解決問題的動機(jī)就強(qiáng)了，完成的效果較好。

解決以下兩個(gè)問題：第一，學(xué)校進(jìn)行校服征訂。一件上裝50元，一件下裝55元，我們班總共有6個(gè)同學(xué)補(bǔ)訂了校服，一共需要多少元？第二，學(xué)校要設(shè)計(jì)一個(gè)宣傳欄，左邊宣傳金磚峰會知識，右邊宣傳垃圾分類知識。這塊宣傳板塊的面積是多少平方米？

學(xué)生通過解決問題，得出了兩組等式：

（50+55）×6=50×6+55×6

（6+4）×3=6×3+4×3

解決問題的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索、同伴交流、上臺匯報(bào)的過程，獲得解決問題的策略，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，這是建模的起點(diǎn)，學(xué)生通過這一過程體驗(yàn)到解決問題方法的多樣性，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識。

二、對比分析，概括歸納，培育建模基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)建模活動，更多關(guān)注的是建模的過程，而不是結(jié)果。通過解決問題得到兩組相等的式子，（50+55）×6=50×6+55×6，（6+4）×3=6×3+4×3，教師引導(dǎo)學(xué)生分析：“這兩組式子為什么會相等，它們有什么共同的地方？”理清式子左右兩邊的數(shù)量關(guān)系，這是建立“模型”的核心。學(xué)生在分析過程中，實(shí)質(zhì)上也是對概括總結(jié)、推理能力的訓(xùn)練。

學(xué)生很難從整體進(jìn)行觀察，教師要進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，劃分成三個(gè)層次進(jìn)行觀察。引導(dǎo)學(xué)生觀察左邊算式的特征、右邊算式的特征，從左往右是怎樣變化的？通過三個(gè)層次，層層遞進(jìn)，不斷歸納出模型特點(diǎn)：左邊是“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘”，右邊是“兩個(gè)數(shù)相乘再相加”，最后整理成兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以看成先與這個(gè)數(shù)分別相乘再相加。

學(xué)生通過展開思維，不斷發(fā)現(xiàn)、分析、歸納，初步建立“乘法分配律”數(shù)學(xué)模型，并訓(xùn)練學(xué)生概括、比較、歸納等數(shù)學(xué)思維能力。

三、進(jìn)行驗(yàn)證，符號表示，完成模型構(gòu)建

1.進(jìn)行驗(yàn)證，符號表示。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，通過兩組等式歸納出的“模型”還不夠具有說服力。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過舉例驗(yàn)證、圖形驗(yàn)證、說理驗(yàn)證等方式驗(yàn)證。

（1）舉例驗(yàn)證。教師提出：“剛才通過觀察發(fā)現(xiàn)這些式子的特點(diǎn)，具有這些特點(diǎn)的式子你還能寫嗎？”學(xué)生仿照寫出這樣的式子，不斷嘗試，發(fā)現(xiàn)只要具備這樣特征的式子就一定會相等，而且像這樣的式子是寫不完的。通過不完全歸納法發(fā)現(xiàn)，“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以看成先把他們與這個(gè)數(shù)分別相乘再相加”，這個(gè)規(guī)律是存在的。

建模的最終目的是用形式化的數(shù)學(xué)語言表示數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。通過舉例驗(yàn)證肯定了這個(gè)規(guī)律的存在，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系表示出來。

（a+b）×c=a×c+b×c

（2）圖形驗(yàn)證。把例題中的這個(gè)圖形的數(shù)據(jù)改成字母，寫出等式。

同樣也驗(yàn)證出這個(gè)規(guī)律是存在的。

（3）說理驗(yàn)證。萬物離不開本源，乘法分配律的模型我們是通過觀察數(shù)的特征以及變化規(guī)律總結(jié)而來，但是實(shí)質(zhì)上從乘法的意義來解釋，它也是行得通的。（a+b）×c=a×c+b×c，（a+b）個(gè)c等于a個(gè)c+b個(gè)c。

通過學(xué)生經(jīng)歷三種方法驗(yàn)證，都得出結(jié)論“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以看成先把他們與這個(gè)數(shù)分別相乘再相加”，發(fā)展學(xué)生合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生思考的條理性，提升建模的理性高度。

2.實(shí)際應(yīng)用，鞏固提升。活用模型解題可以讓學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，使學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提升。構(gòu)建“乘法分配律”這一數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)知識體系中的好處便是優(yōu)化算法。所以教師在練習(xí)時(shí)，通過習(xí)題，讓學(xué)生感受到應(yīng)用這一模型，使數(shù)學(xué)計(jì)算變得更加有趣便捷，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

四、串聯(lián)知識，拓展模型，發(fā)展模型應(yīng)用意識

從解決具體問題，經(jīng)歷抽象提升，初步構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，還應(yīng)組織學(xué)生反思模型與之前知識體系中的聯(lián)系，鞏固模型以及通過思考題拓展數(shù)學(xué)模型的外延，培養(yǎng)學(xué)生模型應(yīng)用意識。

“師：同學(xué)們，其實(shí)我們以前學(xué)過的知識里也有一些是乘法分配律的應(yīng)用。你知道嗎？

生：長方形的周長公式：周長=（長+寬）×2=長×2+寬×2

師：我們學(xué)習(xí)的筆算乘法也有運(yùn)用到這一類的知識。

師：想一想，先算什么，再算什么？所以，把12分成2+10，25×12就可以看成25×（2+10）=25×2+25×10。

通過把長方形周長公式以及兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法回歸到“乘法分配律模型”中，讓學(xué)生感受到知識間的聯(lián)系，鞏固“乘法分配律”數(shù)學(xué)模型認(rèn)識。

“乘法分配律”只是關(guān)于兩個(gè)加數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘的模型，而建模過程中不能將同類一一列舉出來。因此，還可以提出“兩個(gè)數(shù)的差與一個(gè)數(shù)相乘”以及“三個(gè)加數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘”是否也有同樣的規(guī)律存在。此時(shí)教師應(yīng)放手讓學(xué)生嘗試經(jīng)歷建立模型的過程，還可以再提出“四個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)呢？五個(gè)數(shù)的和呢？”使模型的外延不斷豐富和拓展，學(xué)生建模思想也在不斷驗(yàn)證中形成。

教師通過“基于基礎(chǔ)，情景創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學(xué)生建模興趣→對比分析，概括歸納，培育建模基礎(chǔ)→進(jìn)行驗(yàn)證，符號表示，完成模型構(gòu)建→串聯(lián)知識，拓展模型，發(fā)展模型應(yīng)用意識”這四個(gè)步驟引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型。教師應(yīng)注意，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型更多關(guān)注的是建模的過程，而不是結(jié)果，在建模過程中應(yīng)主要培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，進(jìn)而不斷培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和能力。

（作者單位：福建省廈門市湖里區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬小學(xué)）

（責(zé)任編輯 吳 磊）