高中數學“隱圓”問題的特點與解法

王弟成

摘要：以一道高二學業質量調研試題為例，說明高中數學“隱圓”（滿足一定條件的動點軌跡是圓或圓弧）問題的特點：設計和求解可以聯系的內容、想到的思路非常多，可以較好地考查學生的數學知識結構、內在聯系以及多元表征、本質理解，考查學生數學思維的深刻性、靈活性和創造性等。“隱圓”問題的解法有：平面幾何方法，解析幾何方法中的直接法、向量法、解三角形法、面積法、三角變換法。由此得到教學啟示：多元表征，豐富概念認識;重視過程，體會思想方法;優化解法，培養創造性思維。

關鍵詞：“隱圓”問題多元表征重視過程優化解法

蘇州市2018-2019學年第一學期學業質量陽光指標調研卷高二數學第13題如下：在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=r2和點A（0，-3）、B（0，3），若圓C上存在點P，使得∠APB=60°，則半徑r的取值范圍是。

這是一道近年來高考及各級各類模擬考試數學卷常考的“隱圓”（滿足一定條件的動點軌跡是圓或圓弧）問題。學生也多次解答過類似的題目，比如“圓C上存在點P，使得∠APB=90°”“圓C上存在點P，使得PAPB=k（k>0）”等。然而，此題調研的結果是，正確率非常低。究其原因，絕大多數學生不知道點P的軌跡是兩段圓弧（優弧），甚至沒有形的意識;少數學生只考慮y軸右側的一段圓弧。

下面，深入分析此類問題的特點和解法，并在此基礎上反思平時的數學教學。

一、“隱圓”問題的特點

“圓的方程”是高考數學的重要考點（江蘇省高考數學的8個C級考點之一）和考查熱點。這是因為在中學數學課程中，“圓”是綜合性非常強的內容：涉及平面幾何（包括解三角形）、解析幾何（包括直線方程）以及三角函數、向量等內容。因此，與圓有關的問題的設計和求解可以聯系的內容、想到的思路非常多，可以較好地考查學生的數學知識結構、內在聯系以及多元表征、本質理解，考查學生數學思維的深刻性、靈活性和創造性等。而“隱圓”問題又涉及動點軌跡的視角轉換、化靜為動、變中不變思想，能很好地考查學生的數學能力和素養。

從根本上看，“圓”是平面幾何的內容。平面幾何一直是數學的難點之一，因而也是教育數學改造的重點之一。歐幾里得的《幾何原本》把當時人類掌握的相當豐富但雜亂無章的幾何知識“熔于一爐”，鑄成了一個空前嚴整的科學體系，不僅在科學領域取得了成功，而且在教育領域取得了成功。但是，歐幾里得的體系仍然有一些不足：（1）沒有一個突出的中心（俯瞰全局的制高點），邏輯結構是串聯式而不是放射性的;（2）沒有提供一套強有力的、通用的解題方法，以全等三角形和相似三角形為主要解題工具，離不開對輔助線的想象和創造;（3）與數學的其他分支，如代數等缺少聯系。因此，后人對歐幾里得的體系有過很多補充和改造，比如面積方法、三角函數概念、解析幾何思想（與代數的聯系）、向量體系等。

二、“隱圓”問題的解法

解決“隱圓”問題的關鍵是確定動點的軌跡是圓或圓弧。下面，以上述試題為例，聚焦點P軌跡的求法，談一談“隱圓”問題的多種解法。

縱觀五種解析幾何方法，不難發現，從關于tan ∠APB的關系式入手，計算過程較為簡捷;而從關于cos∠APB或sin ∠APB的關系式入手，計算過程較為繁瑣。實際上，這是因為正切只涉及水平方向和豎直方向上的長度，這在平面直角坐標系中用點的坐標來表示比較簡單;而余弦、正弦還涉及“斜的”長度，這在平面直角坐標系中用點的坐標來表示比較復雜。由此進一步可見各種方法的“殊途同歸”。

三、教學啟示

（一）多元表征，豐富概念認識

解決上述試題時，絕大多數學生“看不出”點P的軌跡是兩段圓弧（優弧）——想不到平面幾何方法（先確定圖形，再求出方程），說明他們對圓的認識還不夠豐富，理解還不夠深刻。對此，教學中，教師不能停留在幾何定義和標準方程、一般方程中，還要引導學生多元表征，從幾何和代數兩個方面思考、總結還有哪些條件可以表示圓（圓弧）。實際上，“動點到一定點的距離為定值”“動點到兩定點的距離之比為定值（不等于1）”“動點到兩定點的距離平方和為定值”“動點與兩定點的連線互相垂直”“動點對兩定點的張角是定角”“在△ABC中，a2+b2-ab=c2”“函數f（x）=1-x2（或式子1-x2）”……都可以表示圓或圓弧（其中都隱含著圓或圓弧），從而有關問題都可以轉化為圓的問題，利用圓的性質解決。于無圓處“看出”圓是一種能力，教學需要在此處著力。

數學知識是一個有著豐富聯系的結構體系。教學中，教師不能“就事論事”，而要多方面發掘知識、問題背后的各種聯系，從而完善學生的知識結構——知識結構直接影響學生的遷移和應變能力，而遷移和應變能力可以說是學習最終的目的。

（二）重視過程，體會思想方法

顯然，我們很難列盡各種形式的圓;即使全部列出，也未必能在特定的情境中“看”出來。對于上述試題，學生“看不出”點P的軌跡是兩段圓弧（優弧）也是正常的，但遺憾的是，求不出點P滿足的軌跡方程——在想不到平面幾何方法的情況下，也完不成解析幾何的方法（先求出方程，再確定圖形）。這說明他們對整體思維的體會還不夠深入，運用還不夠靈活。

上述方法（三）就是學生比較容易想到的解析幾何方法。其基本思路是：直接設出點P的坐標，根據點P所滿足的條件列出式子進行化簡。對學生來說，這一方法的困難之處在于對x2+（y+3）2·x2+（y-3）2的化簡：先關注整體，運用平方差公式，得到（x2+y2+3）2-（23y）2;再關注整體，立足于x2+y2進行化簡……

因此，教學中，教師不能急功近利，過分重視結果，只顧灌輸知識和布置“刷題”，而要高瞻遠矚，同時重視過程，既深挖知識和習題背后隱藏的思想與方法，又給予足夠的時空讓學生自主探究、充分交流，從而自然而不強加地培養和提升學生的能力和素養。

（三）優化解法，培養創造性思維

教學中，教師要引導學生多角度思考，實現一題多解;特別是對于有困難的解法，要透徹分析，找出原因，尋求優化，從而培養學生的創造性思維。比如，上述試題是以角的條件確定的“隱圓”問題。對于其解析幾何解法，學生容易想到利用向量的夾角公式列出式子進行化簡，但是涉及邊長之積，會出現含有字母的根式和平方式，難以處理。此時，除了利用整體思維進行化簡之外，還可以尋找另外的關系重新列出式子，“回避”邊長之積。對于角的條件，還可以想到正弦定理、余弦定理等解三角形方法。考慮到正弦定理要涉及多個角，余弦定理還是會涉及邊長之積，所以不可行或不能優化。繼續想到三角形面積的“兩邊及夾角”公式和三角恒等變換公式，得到上述方法（五）和方法（三）的結合（即利用tan ∠APB=AB·hAP·BP）以及方法（六）。

當然，教師還要引導學生多角度思考，實現一題多變;特別是對于一類問題，要改變背景、變換條件、刷新方法，從而培養學生的創造性思維。比如，“隱圓”問題常常出現直角條件，學生利用向量的夾角公式或勾股定理等處理起來都較為方便。上述試題便將直角改為60°角，加大了難度，需要優化解法，才能快速解決。

參考文獻：

[1] 張景中，曹培生.從數學教育到教育數學（典藏版）[M].北京：中國少年兒童出版社，2011.

[2] 徐章韜.從全等、相似到面積、三角——教育數學研究之七[J].教育研究與評論（中學教育教學），2019（1）.