中學生數學邏輯思維發展的心理學研究及其對教學的啟示

嚴卿 喻平

摘要：對心理學關于演繹與歸納這兩種數學邏輯思維發展的研究做簡單梳理，揭示數學邏輯思維發展的年齡特征：中學是數學邏輯思維發展的關鍵階段。在此基礎上，針對學生數學邏輯思維發展中存在的問題、困難，提出教學策略：結合邏輯知識對演繹思維進行專門訓練，進行填補推理依據訓練，采用新定義問題情境訓練;參考基本模型并設計“陷阱”問題對歸納思維進行專門訓練，強調概念形成訓練，突出解題概括訓練。

關鍵詞：邏輯思維心理學研究演繹歸納

數學被稱為“思維的體操”，數學教育的一個基本價值在于培養學生的思維，如分析與綜合、直觀與抽象、歸納與演繹、猜測與搜索等。當下，數學教育的重心在于發展學生的數學核心素養，數學核心素養與數學思維之間存在一些顯而易見的重合部分，如抽象思維、邏輯思維、模型思想等。正如鄭毓信教授所指出的：“數學核心素養”的真正核心在于“幫助學生通過數學學會思維，并逐步學會想得更清晰、更全面、更深入、更合理”。

思維的發展存在一定的規律，在發展的關鍵階段施以適當的教學干預，才能取得事半功倍的效果。本文聚焦演繹與歸納這兩種數學邏輯思維，對心理學關于數學邏輯思維發展的研究做簡單梳理，揭示數學邏輯思維發展的年齡特征。在此基礎上，針對學生數學邏輯思維發展中存在的問題、困難，提出教學策略。

一、心理學對數學邏輯思維發展的研究

（一）演繹思維發展的研究

演繹，是獲得確定性知識、驗證知識正確性的可靠方式。借助演繹的鏈條，能將一個個數學概念、命題聯系起來，幫助學生形成知識網絡。

多項研究表明，初、高中是學生演繹思維快速發展的階段。林崇德將中學生論證推理能力劃分為四個水平：直接推理水平、間接推理水平、迂回推理水平、按照一定數理邏輯格式進行綜合性推理的水平。調查發現，初一和初二、高一和高二年級之間的差異達到了顯著的水平，初二和高二是中學生數學推理能力發展的轉折點。孫敦甲研究發現，中學數學邏輯思維的發展是從形象抽象思維到形式抽象思維，最后向著辯證抽象邏輯思維發展;初二與初三、初三與高一、高一與高二年級之間的差異均達到了非常顯著的水平，可見這段時間發展十分迅速。武錫環等人使用“定義規則型問題”對初中生演繹推理能力的研究顯示，三個年級的結果呈直線上升趨勢，年級之間的差異都是顯著的。Knuth等人對6至8年級學生的演繹思維進行了研究。他們設置了一類“定義型問題”，例如將四邊形定義為“使用四條直線將A、B、C、D四個點相連”——這是一個在一定程度上違反習慣但從專業角度來說正確的定義。6年級的樣本中，有三分之二的學生依據習慣做出了錯誤的判斷，而8年級的樣本中，這一比例下降至三分之一。這表明隨著年齡的增長，更多學生能夠依據給定規則（而非固有觀念）進行演繹。此外，研究還發現，學生判斷假言命題的能力取決于能否想象出反例，8年級的學生在這一點上優于6年級的學生是因為他們對問題中的反例更熟悉。Porteous設計了三個問題，包括“連續三個自然數之和是3的倍數”等，考查11至16歲的學生在判斷命題時對于演繹證明與個例驗證方法的認識。研究發現，雖然能夠給出演繹證明的學生人數隨著年齡的增長有顯著增加，但是這些學生在總樣本中的比例僅為10%;而超過40%的學生認為通過多組個例可以確保命題的正確性。

在有的研究中，中學生演繹思維的發展則并不明顯。Hoyles等人追蹤研究了8年級學生前后一年間演繹思維的發展情況。他們圍繞兩個假言命題——“如果兩個整數的和是偶數，它們的積是奇數”“如果兩個整數的積是奇數，它們的和是偶數”，要求被試回答如下問題：（1）兩個命題是否表達相同的意思？（2）假設后一個命題正確，現已知兩個整數的積是1271，能否直接得出它們的和是偶數？（3）分別證明這兩個命題。這些問題分別考查了學生對逆命題的認識、依據規則的演繹以及對假言命題的證明（證偽）。對于前兩問，學生的正確率分別為13%、47%;對于第三問，能夠一般性證明的學生僅占9%左右，能夠正確呈現反例的也僅有28%。一年后再次施測，結果顯示，雖然總體有所進步，但是十分有限;雖然取得進步的學生更多，但是也有一些學生反而退步了。

（二）歸納思維發展的研究

借助歸納思維，可以從具體的現象得到一般性結論。這是一條從經驗到理論的路徑，是獲得新的知識、形成創新思維的途徑。

多項研究表明，中學也是學生歸納思維快速發展的時期。武錫環等人將信息表征、歸納識別、形成猜想、假設檢驗確定為歸納推理的四個重要影響因素，并據此編制測試題。在初中三個年級施測的結果顯示，總體而言，初一、初二的學生差別不大，而初二、初三的學生則差異顯著。這說明初二年級是歸納推理能力發展的關鍵時期。具體到各個因素的發展情況，在初中階段，信息表征能力穩步上升，歸納與猜想能力緩慢增長，而假設檢驗能力增長不大。學生在歸納推理中，缺乏對得到的結論進行檢驗的習慣，反映出自我監控、自我反思能力低下。其原因包括，大量的訓練使學生的自我監控能力降低，成功的體驗干擾了學生的檢驗意識等。黃煜烽等人對初一、初三、高二三個年級學生歸納推理能力的研究也顯示，初二年級是歸納推理能力迅速發展的時期，而初一學生的歸納推理還依賴于具體經驗的支持，往往體現為枚舉而非得到新的含義。Csapó對3、5、7、9、11五個年級2400多名學生歸納推理能力的研究表明，3年級學生已經具備了一定的歸納推理能力;低年級得分的標準差較大，原因是少數學生在早期就具備較強的歸納推理能力;5～7年級是歸納推理能力發展最迅速的時期，9年級后發展速度明顯放緩。

總體而言，中學是數學邏輯思維發展的關鍵階段。雖然一些研究的結果表現出了一定的差異，但是這種差異是可以理解的：除去研究樣本、工具等的不同，數學邏輯思維的發展是外部環境（教學）與生理成熟兩個方面共同作用的結果，快速發展期并不代表必然發展。這也更加凸顯教學干預的重要意義：促進學生數學邏輯思維順利、快速地發展。

二、對中學數學教學的啟示

張緒揚做了一項實驗研究，其方法是利用課外時間對學生進行專題訓練，其材料為：要看到事物的下面與反面，不要簡單地接受或拒絕;要全面地考慮一個情境中的所有因素;要有一些為人們廣泛理解并共同遵守的規則;要注意行動的近期后果和長遠后果;要弄清行動的目的;在行動之前，要有明確的計劃;要按照問題的重要性排列順序，優先解決比較重要的問題;要想出解決問題的新的可能性，不拘泥于老一套的辦法;在任何時候，都必須做決定;要放棄自己的觀點，考慮別人的觀點。結果發現，這樣的訓練可以提高學生思維的靈活性、深刻性、流暢性，促進創造性思維的發展。這項研究表明，對學生進行專門的思維訓練是有重要意義的，在學生思維能力發展的關鍵期顯得更有必要。

（一）演繹思維訓練策略

1.對演繹思維進行專門訓練。

在初中階段，特別是在初二年級，要對學生進行判斷、演繹推理的訓練。

判斷的訓練要使學生能夠理解判斷的分類和相互關系。按照質與量分類，判斷可以分為全稱肯定（A判斷：所有的S都是P）、全稱否定（E判斷：所有的S都不是P）、特稱肯定（I判斷：有些S是P）、特稱否定（O判斷：有些S不是P）。四種判斷之間組成圖1所示的關系。其中，反對關系的兩個判斷不能同時為真;下反對關系的兩個判斷不能同時為假;從屬關系的兩個判斷“上真亦下真、下假亦上假、上假下不定、下真上不定”;矛盾關系的兩個判斷不能同時為真，也不能同時為假。

演繹推理的訓練要使學生能夠基本判斷三段論的格式，并且掌握三段論四個格中的前面兩個格。第一格：中項M是大前提的主項，是小前提的謂項。滿足：大前提必須是全稱的，小前提必須是肯定的。例：矩形是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形，所以，四邊形ABCD是平行四邊形。第二格：中項M在大、小前提中都是謂項。滿足：大前提必須是全稱的，有一個前提必須是否定的。例：無理數是無限不循環小數，3.1416不是無限不循環小數，所以，3.1416不是無理數。

高中數學課程涉及一些專門的形式邏輯內容：充分條件與必要條件，四種命題的關系等。實際上，這兩部分內容歸根結底可以統整于假言推理的四種形式。給定一個假言命題“若p則q”，有四種推理形式：①當p成立時，q成立;②當q成立時，p不一定成立;③當p不成立時，q不一定成立;④當q不成立時，p不成立。①和②分別是肯定前件與肯定后件的推理，也是充分、必要條件最核心的內容;③和④分別是否定前件和否定后件的推理。另外，②是對逆命題的判斷，③是對否命題的判斷，④是對逆否命題的判斷。在教學中，可以從這四種推理形式出發來介紹這部分內容，從而減少新概念對工作記憶的占用;還要注意設計一些非數學問題，幫助學生加深對這些知識的理解，從而提升邏輯思維水平。

2.進行填補推理依據訓練。

在例題講解中，教師可以設計一些缺少推理依據的樣例，讓學生補全缺少的依據。這是訓練學生嚴謹邏輯思維的有效方式，特別是在幾何證明的入門階段，采用這種方法更為有效。樣例的設計可以由易到難：先設計只需要補充一個依據的問題，再過渡到需要補充兩個、三個……依據的樣例。本質上，這是在訓練學生掌握三段論規則，提升演繹推理能力。

3.采用新定義問題情境訓練。

所謂新定義問題情境，是指利用學生學習過的概念定義一個學生不熟悉的新概念，并利用這個新的概念解決問題的情境。顯然，要解決這類問題，學生必須具備較高的演繹推理能力。

例1大家都知道菱形、矩形與正方形的形狀有差異。我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”。在研究“接近度”時，應保證相似圖形的“接近度”相等。

（1）已知菱形相鄰兩個內角的度數，我們定義菱形的“接近度”為這兩個內角度數差的絕對值，于是，這個絕對值越小，菱形越接近正方形。請回答下列問題：

①若菱形的一個內角為70°，則該菱形的“接近度”等于;

②當菱形的“接近度”等于時，菱形是正方形。

（2）已知矩形相鄰兩條邊的長，將矩形的“接近度”定義為相鄰兩條邊長差的絕對值，于是，這個絕對值越小，矩形越接近于正方形。請回答下列問題：

①你認為這種說法是否合理？為什么？

②如果你認為不合理，請你給出矩形“接近度”的一個合理定義。

例1中，“接近度”是學生完全沒有接觸過的概念。他們要理解這個概念，必須對菱形、矩形與正方形概念有深入的理解，這個理解過程需要邏輯思維;然后利用這個概念解決新的問題，即利用一般規則解決具體問題，這是典型的邏輯思維訓練。

（二）歸納思維訓練策略

1.對歸納思維進行專門訓練。

歸納推理屬于合情推理，即推出的結論不一定正確。因此，不像演繹推理有明確的推理規則，歸納推理并沒有嚴格的推理規則。

在對學生進行歸納推理的專門訓練時，可以參考G.波利亞提出的一個基本模型，利用實例給予說明。就數學中的歸納推理而言，如果僅限于對結論的檢驗，就可以利用如下模式表述：A蘊含B，B真，所以，A較可靠。也就是說，一個猜想的命題假如在新的特例中得到證實，就會變得更加可信。波利亞把這一模式稱為基本歸納模式。作為基本模式的對偶模式，有：B蘊含A，B假，所以，A較不可靠。也就是說，在作為猜想的可能依據被推翻時，我們對猜想的信任程度減小。

需要特別強調的是，不能給學生造成一種認識，即歸納出來的一般性結論似乎都是正確的。因此，在教學中，要提供一些反面的例子。

例2觀察下列式子，你得出了什么結論？（1+1）2+1=21+3×1，（1+2）2+1=22+3×2，（1+3）2+1=23+3×3，…。

例3判斷下列命題的正確性：當n為正整數時，函數f（n）=n2+n+41的值恒為質數。

例4圓上有n個點，兩兩連線后，最多能將圓分為幾個區域？

上述例題有一個共同的特點：初始的若干項滿足某種共同的規律，但是這種規律只是一種偶然，從某一項開始便不再適用。教學中，對于這些問題，可以先讓學生嘗試解答，觀察學生在猜想后是否有主動驗證的意識;再讓學生進行證明，當學生在證明中遇到困難時，提醒學生對結論進行質疑;最后對歸納的或然性、驗證的必要性進行總結。

除了上述“陷阱”類型的歸納問題，也可以設置結論不唯一的歸納問題。這同樣是對確定性的否定。另外，更為重要的是，要充分發揮歸納思維探索、發現的價值，讓學生建立起完整的由猜想到驗證的思維程序。

2.強調概念形成訓練。

歸納思維的關鍵在于，從若干特殊中看到一般。對于一組待歸納的元素，其具有的共性決定了歸納結果的屬性，而其具有的差異則制約了一般化的程度。對共性的認識尤其體現了歸納思維創造性的特征，因為不同對象之間的共性往往并不外顯，而表現為共享一種內在的數量規律。因此，可以從識別數學對象之間的共同特征入手，訓練歸納思維。

概念形成與概念同化是概念獲得的兩種基本形式。概念形成是指對同類事物中若干不同的例子進行感知、分析、比較和抽象，以歸納的方式概括出這類事物的本質屬性，從而獲得概念的方式。概念同化是指利用已有的知識經驗，以定義的方式直接提出概念并揭示其本質屬性，主動地與原有認知結構中的有關概念進行聯系，從而掌握概念的方式。顯然，概念形成是從特殊到一般的學習方式，概念同化是從一般到特殊的學習方式。因此，概念形成非常有利于培養學生的歸納思維。

例如，對于冪函數的概念，可以這樣設計教學：

（1）給出一組實例：y=x，y=x2，y=x12， y=x3，y=1x，y=x-2，…，讓學生觀察它們的共同屬性。

（2）讓學生提出這一組例子的共同成分的假設，并依據這些假設檢驗每一個例子。

（3）由學生通過分析、比較和概括，得出一般模式y=xα，并檢驗每一個例子是否都屬于這個模式。

（4）將這一表達式與學生學習過的正比例函數、反比例函數、二次函數等有關概念聯系起來，不僅說明研究這一種新函數的意義，而且建立函數的知識結構，使學生形成新的認知結構。

（5）給出冪函數的定義，并詳細解讀。

（6）由學生舉出正例、反例，對概念進行強化。

這樣的教學設計是典型的概念形成方式。經常采用這種方式，可以提高學生觀察問題、概括問題的能力，進而訓練歸納思維。

3.突出解題概括訓練。

上面的概念形成教學方式是在訓練學生的概括能力。而在問題解決中，也可以訓練學生的概括能力。其中的概括主要包括兩個方面：（1）對知識的概括。面對一個問題，首先要確定問題的屬性，然后要選用解決問題的工具，即選用某個樣例或原理來解決問題。當前問題與樣例或原理之間無論是強抽象、弱抽象還是廣義抽象關系，都是一種概括過程，需要解題者概括出問題與樣例或原理的共同要素，才能實現有效的遷移。（2）對方法的概括。解決問題除了要用到某些知識外，還必然要用到某些方法，方法往往具有一般性，不僅可以用來解決一個問題，還有可能用來解決一類問題。選擇解決當前問題要使用的方法也是一個概括過程，更重要的是，解決了一個問題之后，要對這個問題進行歸類，把這個問題置于某種數學方法的統領之下，形成一種以方法統攝知識的體系。

解決問題重在對問題進行表征，以深入理解題意，尋找解決當前問題的遷移源，而不是盲目地“試誤”;重在對問題解決進行反思，以方法來對問題進行歸類。因此，教師要引導學生從問題中概括出具體的數學模式和方法。例如，列方程或不等式解應用問題，用排列或組合解應用問題等，就是一種模式和方法的概括。

例5已知實數x、y 滿足4x2-5xy+4y2=5，設S=x2+y2，求1Smax+1Smin的值。

解決該題時，可以遷移運用或歸納概括一個解決一類問題的二元代換：對于任意實數x、y，總有x=12（x+y）+12（x-y），y=12（x+y）-12（x-y）;若令a=12（x+y），b=12（x-y），則有x=a+b，y=a-b。

令x=a+b，y=a-b，代入已知等式并化簡，得b2=513-313a2。由b2=513-313a2≥0，得0≤a2≤53。由S=x2+y2=（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）=2013a2+10130≤a≤53，容易求得Smax和Smin值……

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