例談數學幾何意義的應用

何小菊

摘 要：在數學習題教學中合理巧妙地應用數學幾何意義，拓展各個知識點之間的聯系，對習題教學進行更深層次的教學思考，讓學生熟練掌握各項知識點.突出探究活動的開展，必將有利于學生數學素養的培養.

關鍵詞：幾何意義；數學思考；數學素養

1.問題呈現

例1（2017學年衢州二中高三模擬卷）已知函數 ，若存在非零實數 ，使得 成立，則 的最小值為（ ）

2.思路探索

解析：由 整理得 ，

設 ，由于 ，把問題轉化為，若 是可使 在 上至少有一個實根的實數，求 的最小值.（*）

令 ，問題又轉化為 在 上至少有一個實根，求 的最小值.

于是，可得（1）若方程 的兩個根中有且只有一個根的絕對值大于等于2，則 ，即

（2）若方程的兩個根的絕對值都大于等于2，則 ，即

注：在這里其他情形無解

作出（1）（2）的線性規劃區域，由于 的最小值即為原點到直線 或 距離的平方. 的最小值是 ，此時 或

以上解析過程很好地利用了所求式子 的幾何意義，利用數形結合的思想成功解題.

另解：在以上（*）中，令 ，則問題轉化為已知 ，求 的最小值.即求原點到直線 的距離平方的最小值，即 ，而 ，則

以上求解過程雖然在形式上不同，但也是巧妙地應用了數學幾何意義，從而讓問題變得簡單明了，讓不同程度的學生都能去嘗試解決這類難題。教育家裴斯泰洛齊認為：“教育的主要任務，不是積累，而是發展思維.”在數學習題教學中，理所應當地要把“數學思考”作為數學學習的一個重要目標，讓學生在學習的過程中學會思考，發展“數學思考”，真正使學生具有可持續發展與終身學習的潛能，為學生一生的發展奠定基礎。

原題背景：（2007全國高中數學聯賽遼寧賽區初賽）若關于 的方程 有實根，則 的最小值為（ ）

3.方法推廣

例2（2018學軍中學高三數學模擬卷）已知不等式 對任意實數 恒成立，則 的最大值為（ ）

一般解法：令 ，則

（1）當 即 時， ，則 在上單調遞增，不滿足 恒成立；

（2）當 即 時，令 得 ，

在 單調遞減，在 單調遞增，

則 ，

則 ，

令 ，則 ，

在 單調遞增，在 單調遞減， ，即 ，選項為A

以上求解過程雖說完整，但學生往往會覺得運算繁瑣、不愿耐心計算。著名心理學家皮亞杰指出：“所有智力方面的工作都要依賴興趣.”而培養學生思維興趣的途徑，莫過于讓學生直接體驗到課堂思維勞動本身的樂趣.在習題教學中，讓學生對探究活動有著積極的態度，“對數學有好奇心和求知欲”，因為好奇心和求知欲是發展興趣的基礎。在此基礎上，還要讓學生“體驗成功的樂趣”，鍛煉克服困難的意志，建立數學學習的自信.在上面恒成立的不等式當中，經過移項變形，然后和目標式子聯系對比，又可以轉化為利用幾何意義求解的問題，這時候學生會豁然開朗.這一富有挑戰性的問題必將喚起學生的內驅力，激發學生思維的興趣，讓數學思考更具有積極性和主動性.

另解：由已知 ，即曲線 始終在直線 的上方，而所求的式子 為直線在 軸上截距的相反數，結合圖形知當曲線與直線相切時即為所求.由 ，令 得 ，所以切點為 ，代入直線方程得 ，

即

則 ，

在 上單調遞增，在 上單調遞減，

則

對于幾何意義的應用，我們在線性規劃問題中比較常見，但在平時的習題教學中也應該拓展各個知識點之間的聯系，讓學生熟練掌握各項知識點。通過靈活運用數學知識，找出解決當前問題的方法.如果我們在習題教學中，突出探究活動的開展，對習題教學進行更深層次的教學思考，必將有利于學生數學素養的培養.

參考文獻：

[1] 章建躍，陳向蘭.數學教育之取勢、明道、憂術[J].數學通報2014，10.

[2] 林松，習題教學：學生數學思考的有效載體，上海中學數學2017年第3期