基于PCK內涵理論的視角 解析二次函數概念的教學

石頤園 侯雪梅

“PCK”即學科教學知識，是Pedagogical Content Knowledge的簡稱，1986年由美國的舒爾曼教授最先提出，其定義為“特定教學內容與教學法的整合與轉換，是教師獨特的知識領域，是他們專業理解的特殊形式”。具體說，就是“對于一個人的學科領域中最一般的要教授的內容，表達那些概念最有用的形式，最有效的比喻、說明、例子、解釋以及演示等，其實，就是使人易于懂得該學科內容的表達和闡述方式”。

1990年，格羅茲曼作為舒爾曼理論的繼承者，將PCK內涵分成四個部分：（1）教師關于一門學科教學目的的統領性觀念——關于學科性質的知識、關于學生學習哪些重要內容的知識或觀念;（2）關于學生對某一課題理解和誤解的知識;（3）關于課程和教材的知識，它主要指關于教材和其他可用于特定主題教學的各種教學媒體和材料的知識，還包括學科內容與其他知識之間的橫向和縱向聯系的結構的知識;（4）特定主題教學策略和表征的知識。這種闡述使PCK理論更具體，更易于理解。這四個部分依次回答了為什么教→教給誰、他們將怎么學→教什么→怎么教的問題。如果教師在特定課題教學設計時能從這四個方面進行分析，就能準確理解教學內容、把握教學目標、體現學科觀念，就能理解學生情況，從知識結構與聯系的角度有針對性地設計教學策略、方法、流程，從而提高教學的有效性。

數學概念的教學是數學基礎知識、基本技能教學的核心，也是學生發展學科核心素養的重要途徑。學生認識數學概念就是要掌握概念的本質屬性，在此基礎上運用概念，深化理解。而要獲得概念的本質屬性，學生就要經歷觀察、比較、分析、抽象、概況等數學活動過程，在這個過程中學生將體會學科思想、發展合情推理、抽象思維、符號意識等學科素養。

二次函數是初中數學中的一個重要概念。在教學中，教師對二次函數概念的理解多是停留在形式化定義上，忽略了二次函數所描述的變量的變化規律。這就使二次函數概念教學成為抽象表達式的一般形式和辨認形式化定義的過程，難以實現學生學科素養的提升。因此，對二次函數概念進行PCK內涵分析，促使教師透過形式化定義體會其本質屬性很有必要。同時，通過分析學生學習這一概念的經驗和困惑，也能使教學策略更有針對性，從而有利于目標的達成。

（一）二次函數概念的內容及其學科價值

1.對二次函數概念的分析。

（1）對二次函數概念內涵的分析。二次函數概念的內涵不僅包括它外在表現形式（即函數表達式）的共性，還包括其所刻畫的變量變化規律的特征。

通常，我們對二次函數的定義為“一般地，若兩個變量x、y之間的關系可以表示y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數，a≠0）的形式，則稱y是x的二次函數”。顯然，這一定義是對二次函數外在形式——函數關系式的一般特征所作的描述，是一種“形式化定義”，界定的是二次函數概念中“函數表達式”的屬性。透過這個表面，我們還應研究二次函數所刻畫的變量變化規律的特征。事實上，學生之前學習過的一次函數與反比例函數都具有這種“雙重屬性”的特點，如下表：

顯然，二次函數描述的變量關系滿足“二階等差數列”的特征：即x按均值變化時，相應的函數值組成一個數列，用此數列的后項依次減前項，得到的新數列“…-7，-5，-3，-1，1，3…”是等差數列。這一特征可用二次函數的導數來解釋，對二次函數y=ax2+bx+c求導，可得一次函數y=2ax+b，這個一次函數恰好可以刻畫由二次函數 ? ?y=ax2+bx+c產生的“二階等差數列”。如上面例子中的y=x2-2x+5求導，得y'=2x-2，對應的正好是數列“…-7，-5，-3，-1，1，3…”。

對二次函數給出形式化定義是數學發展的需要，因為符號化是數學的顯著特點。同時，這種下定義的方式也符合學生的認知規律。但是，教學二次函數概念不能只關注形式化定義而忽略其本質。事實上，這兩個特征是有機統一的整體，是二次函數概念的兩個方面，其中形式化特征從“表達式”的角度體現，而變化規律則從“表格”角度體現。因此，在教學二次函數概念時，應以“表達式”與“表格”兩種方式為載體抽象本質屬性。

（2）對二次函數概念外延的分析。對于二次函數，其外延是非常豐富的，生活中的許多問題都可以用二次函數來刻畫。從表達式的角度來看，y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數，a≠0）是二次函數的一般形式，而y=ax2+c、y=ax2+bx、y=ax2、 ? ?y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k及y=a（x-x1）（x-x2）（僅限于與x軸有交點時的拋物線）都是二次函數的常見形式，其共同特征是a≠0。

2.二次函數概念的教育價值。

在二次函數概念的學習過程中，合理的學習活動將有利于發展學生的數學學科核心素養。

（1）有利于發展學生“數學抽象”的核心素養，發展符號意識。抽象是數學最本質的特征之一，也是數學最基本的思想之一。在二次函數概念學習中，學生將經歷從豐富的實際問題中建立函數關系式，然后分析所得到的函數關系的特點，抽象出共性特征，從而建立二次函數概念的過程。這個過程中，學生最主要的思維活動是“抽象”，因此合理設計二次函數概念的教學過程，將有利于發展學生“數學抽象”的核心素養，同時在建立二次函數一般形式的過程中發展學生的符號意識。

（2）有利于發展學生“數學建模”的核心素養，體會數學應用的廣泛性。二次函數是一種重要的數學模型。在二次函數概念的學習中，學生需要分析不同情境中的變量關系，建立函數關系式，這個過程就是“建?！?。因此，二次函數概念的學習有利于學生感悟模型思想，發展“數學建?！钡暮诵乃仞B，體會數學與外部世界的聯系。

二次函數概念的教育價值還體現在“過程與方法”層面。學生獲得二次函數概念的過程是“從特殊到一般再到特殊”的認識事物的過程，二次函數所刻畫的問題的復雜性，實現了學生研究函數問題經驗與方法的進一步的積累與提升，為學生后續研究更復雜的概念奠定了基礎。

（二）二次函數概念與其他知識的聯系

1.縱向聯系。

第二學段中的“正比例與反比例”是學生研究變量問題的起始。初中階段的代數式求值、探索規律、變量之間的關系、一次函數、反比例函數等內容都與二次函數的概念有關。另外，二次函數與高中階段其他類型的初等函數也有密切的關系，如二次函數y=x2就是高中階段要研究的冪函數中的一種。當然，高中階段還將研究更為復雜、更廣泛的函數問題，研究的方法也將進一步拓展。

2.橫向聯系。

二次函數與二次多項式密不可分。一方面，二次函數的表達式是用關于自變量的二次多項式來表示的，可以說，關于自變量的二次多項式是二次函數的外在的形式;另一方面，關于某一字母的二次多項式本身就是其所含字母的二次函數。

二次函數刻畫的是一個變化過程中兩個變量之間的特定關系，而一元二次方程刻畫的是這個變化過程中的某個瞬間，即給定二次函數的函數值，就可以得到相應的一元二次方程。特別地，當y=0時，二次函數y=ax2+bx+c轉化為一元二次方程ax2+bx+c=0，此方程的根稱為二次函數 ? y=ax2+bx+c的零點。同時，二次函數與高中階段的一元二次不等式也有密切的關系。一元二次不等式可以看作是二次函數所刻畫的變化過程中的一部分，給定二次函數y=ax2+bx+c中y的范圍，即可得到相應的不等式。因此，二次函數對一元二次方程、一元二次不等式有統領作用，三者之間是總體與局部的關系。

另外，二次函數與幾何圖形也有緊密的聯系，特別是圖形運動變化過程中有關線段長度、圖形面積等幾何變量之間的關系很多都可以用二次函數來刻畫。

基于上述分析，教學二次函數概念，要注意之前所學知識及研究問題的方法對建立新概念的影響，還要關注這一內容對后續學習的積極意義。只有站在系統的高度認識二次函數概念的地位、作用，才能準確把握整個單元的教學。

（三）學生已有知識、經驗與學習困難分析

1.學習二次函數概念的已有知識經驗分析。

學生已經認識了函數的概念及其三種表示方法，同時學習了一次函數與反比例函數兩種具體的函數概念，對這兩種函數概念的形式化定義與本質屬性有了較全面的認識。在代數式、一元二次方程等內容的學習中，學生經歷了列代數式或方程表示較復雜的實際問題數量關系的過程，具備了初步的建立代數模型的能力。因此，學生具備了學習二次函數概念所必需的知識和技能基礎。

同時，學生學習了大量的數學概念，對數學概念建立的過程并不陌生，具備了一定從具體實例中的抽象概括一般特征的能力，這就為學習二次函數的概念提供了必要的活動基礎與思維經驗。

2.學習二次函數概念可能出現的困難。

（1）二次函數所刻畫的變量關系比一次函數、反比例函數更復雜，與學生已有知識經驗，如“正比例、反比例、等差”中的簡單、直接的規律有較大差別。因此，學生在認識“二次函數主要是為哪一類型的問題建立的數學模型”這一問題時會比較困難。

（2）學生從眾多的二次函數表達式中抽象表達式的共性特征也會有一定困難。如，學生分析y=-5x2+100x+6000、y=100x2+200x+100、 ? y=-x2+20x、A=a2、S=πr2、h=[12gt2]等關系式時，可能更多的會從“項數”方面直觀地感受到表達式的不同之處，從而對概括一般形式、歸納定義造成困擾。

1.復習回顧環節引導學生回憶一次函數、反比例函數的概念及建立概念的過程，喚醒原有認知。

讓學生根據表格中的信息，判斷y分別是x的哪種函數，說明判斷的依據。在學生回答的基礎上，梳理一次函數與反比例函數的一般形式與本質規律，并指出研究一次函數與反比例函數的方法，特別強調建立概念的思維過程。

2.提供豐富的、貼近學生的現實情境，引導學生經歷抽象二次函數關系的過程。

此環節可選擇學生在學習一元二次方程時接觸過的圖形面積、利潤、互贈賀卡等情境，盡可能減少因情境陌生而造成的列函數關系式的困難，將思維的核心聚焦到概括共性特征上，以更好地幫助學生認識概念。另外，選例時要盡可能包含二次函數的不同形式，使學生在建立概念時，能排除非本質屬性的干擾，深刻地理解二次函數。

另外，借助表格，引導學生列表分析問題中函數的變化特征;設計有效問題，讓學生充分感悟二次函數的定義;設計適當的鞏固訓練。這些辦法都可以有效地幫助學生歸納和理解二次函數的本質屬性。

綜上，二次函數概念內涵解析的教學有利于教師正確認識這一內容的教育價值，并在準確分析學情的基礎上設計出有效的教學方案。堅持按照PCK理論進行教學內容分析，將有利于教師提高專業能力，更好地幫助學生理解數學。

（作者單位：山西省太原市教研科研中心/太原市小店區教研室）

（責任編輯 冉 然）