群的同態(tài)及其應(yīng)用

郭俊 李興達(dá) 姚淑霞

摘要：群的同態(tài)與同構(gòu)是研究群與群之間關(guān)系的重要手段。本文基于群的同態(tài)與同構(gòu)關(guān)系，結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗，通過典型問題的分析闡明了群論中有關(guān)群的同態(tài)及同構(gòu)問題的證明方法，為相關(guān)學(xué)者對這方面的學(xué)習(xí)和理解提供一定的幫助和指導(dǎo)作用.

關(guān)鍵詞：群;同態(tài);同構(gòu);同態(tài)映射

1 引言

群的同態(tài)與同構(gòu)關(guān)系是群論中非常重要的內(nèi)容，群論中關(guān)于子群、子群陪集、不變子群、商群及不變子群對群的分類問題等都與群的同態(tài)及同構(gòu)有密切關(guān)系[1]。當(dāng)所給的群是商群，或環(huán)是商環(huán)時，利用同態(tài)基本定理可以簡化同態(tài)及同構(gòu)問題的證明[2-4]。

同構(gòu)映射是群之間關(guān)系最密切的映射，存在同構(gòu)映射的兩個群本質(zhì)上可以不加區(qū)別，因為它們有相同的群結(jié)構(gòu)，近世代數(shù)中最基本與最重要的研究內(nèi)容就是搞清楚各種代數(shù)系統(tǒng)在同構(gòu)意義下的分類，而同態(tài)映射只要求保持運算，顯然它比同構(gòu)映射更靈活，能夠研究兩個不同構(gòu)的群之間的聯(lián)系。

群的同態(tài)與同構(gòu)是群論中非常重要的內(nèi)容，而同態(tài)基本定理是群論中最為核心的結(jié)論，它告訴我們，兩個群在同態(tài)滿射的條件下蘊含著一個群同構(gòu)關(guān)系 在處理一些同構(gòu)問題時，我們也常常逆用這個定理，也就是說，先構(gòu)造出同態(tài)滿射，再利用該映射研究兩個代數(shù)體系之間的關(guān)系。

為方便分析，將文中用到的相關(guān)概念做如下說明。

因此，由同態(tài)基本定理知：

本文通過群的同態(tài)與同構(gòu)相關(guān)結(jié)論，結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗，首先對群論中的同態(tài)與同構(gòu)的一些重要結(jié)論給于分析和證明;其次，通過具體問題的分析了闡明了群的同態(tài)與同構(gòu)在群論相關(guān)問題中的應(yīng)用。

可以看出，尋找群G到群 的一個恰當(dāng)對應(yīng)法則成為解題的關(guān)鍵。要證明兩個群同態(tài)時，首先要證明所給法則是一個映射，再說明它是滿射，最后證明它滿足 ，即是同態(tài)映射就可以了。若要證明群G與群 的同構(gòu)關(guān)系，需要在群同態(tài)基礎(chǔ)上，計算同態(tài)滿射的核 最后應(yīng)用群的同態(tài)基本定理獲得

因此，獲得證明和求解群的同態(tài)與同構(gòu)相關(guān)問題的解題思路如下：第一步：建立群G與群 的元素之間的對應(yīng)關(guān)系 并證明 為映射;第二步：證明 為群G到群 的滿射;第三步：證明 為群G到群 的同態(tài)映射;

從而獲得群G與群 的同態(tài)關(guān)系;若需證明群G與群 同構(gòu)，則繼續(xù)進(jìn)行

第四步：計算同態(tài)滿射的核

第五步：應(yīng)用群的同態(tài)基本定理得

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作者簡介：郭?。?997-），男，漢族，甘肅和政人，蘭州城市學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院。

通訊作者：姚淑霞（1980-），女，博士，副教授。