破解“逐差法”和“臨差法”的爭議

肖學鋒

【摘 要】利用打點計時器打出一條紙帶上記錄的數據，求拖動紙帶的物體的加速度是高中物理測試中一個常考的問題。然而，大多數出題者一味地強調用逐差法求加速度才是正確的解法，總是排斥臨差法求加速度的方法。本文用理想實驗方法尋求兩種解法結果與真值之間的關系，從而破解兩者之爭議。

【關鍵詞】逐差法;臨差法;理想實驗;有效數字位數

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）34-0104-03

某小組利用打點計時器對小車沿傾斜的長木板加速下滑時的運動進行研究。小車拖動紙帶下滑，打出的紙帶一部分如圖1所示。其中0、1、2、3、4、5、6為計數點，已知打下兩計數點的時間間隔為T，并測出相鄰兩計數點之間的距離分別為s1、s2、s3、s4、s5、s6，則小車下滑的加速度a=___________（結果用題中已知量和測量表示）。

標準答案是，但也有相當多的同學答案是。教師改卷時往往只給標準答案的分數，后一種不給分或扣一定的分。其理由是標準答案中的表達式包含了已知測量中所有的數據，故標準答案更接近真實值。但有一部分教師也提出異議，認為后一種答案也應給滿分，可難以說服持有標準答案觀點者。本文從以下幾個方面解決此爭議。

1? ?來源于同一原理的兩種求法得到的表達式不應有優劣之分

（1）逐差法：設物體做勻加速運動，加速度是，在各個連續相等的時間T里的位移分別是s1、s2、s3、s4、s5、s6，則有

由上述推導可知，（1）（2）兩式是同源且幾乎同理得到的，若假設測量數據一點誤差都沒有，則兩種求法結果一定是一致。由此可說明（1）（2）兩式不分伯仲。

2? 理想實驗探究讀數誤差出現的位置決定測量結果孰優孰劣

由于利用紙帶求物體的加速度，所以難確定“逐差法”和“臨差法”哪一個更接近真實值，這里筆者用理想實驗的辦法解決這一難題。實際上不計一切影響的理論值可作為這里的真實值。設拖一紙帶的物體做初速度為零，加速度=1.0 m/s2的勻加速運動，則由可得一組理論數據如下表1所示。

按表1為了與真實的實驗相吻合，利用表中計數點3到9的數據，相當于把表格中計數點3之前的點舍去，重新規定表1中計數點3、4、5……為紙帶上的計數點O、A、B……，以此類推，我們得到一條理想紙帶如圖2所示。

我們知道圖2是一條理想紙帶，不論用（1）（2）哪個式子求解，其結果一定一樣。為了顯示出利用不同公式計算的結果由哪些位置的讀數誤差決定，這里再利用類似控制變量法進行理想化數據處理。假設只有O到A和A到B讀數有誤差，即O到A比真實值多讀了0.10 cm，而A到B比真實值少讀了0.10 cm，其他數據不變，得到的理想紙帶如圖3所示。

由圖3這條紙帶，根據（1）式算得=1.0 m/s2，而根據（2）式算得=0.98 m/s2，從而說明利用（2）式計算的結果偏離真值。若假設只有B到C和C到D讀數有誤差，即B到C比真實值多讀了0.10 cm，而C到D比真實值少讀了0.10 cm，其他數據不變，得到的理想紙帶如圖4所示。

由圖4這條紙帶，根據（1）式算得≈0.98 m/s2，而根據（2）式算得=1.0 m/s2，這又說明利用（1）式計算的結果偏離真值。從這兩種假設可以看出，讀數誤差出現在紙帶上不同的位置，造成利用（1）（2）式計算的結果與真實值偏差情況不同，從而說明兩式在求解加速度時，沒有確定的孰優孰劣。

3? ?紙帶獲取的數據首先是用來判斷物體做什么運動，其次才是用來計算加速度

只有弄清楚紙帶上數據的首要作用，才能搞明白為什么有（1）（2）兩式求加速度的方法。因為（1）（2）兩式成立的先決條件是紙帶上點跡顯示出來的是勻變速運動，否則兩式都不成立。不論是“逐差法”還是“臨差法”都是要先求出1、2、3或1'、2'、3'、4'、5'，比較1、2、3或1'、2'、3'、4'、5'在誤差范圍內是否相等，如果相等則所求的平均值才是最接近真值的加速度，否則所求平均值另有其他物理意義。

為了判斷紙帶上的點跡是否是勻變速運動，不必求出來判斷。由于影響判斷準確度的測量是△s和T的測量精度，其中T對兩種方法均相同，是由打點計時器打點的均勻程度（交流電頻率的穩定程度）決定，因此比較兩實驗結果的準確度主要由△s的測量精度決定。實驗中用的是毫米刻度尺來測量s，然后間接算出△s，實驗中用的直尺的最小刻度為1 毫米，△s準確度的判斷則由算出的△s的有效數字的位數多少來決定，即△s值的有效位數多，則判斷的精度越高。若把表1中的加速度設為0.60 m/s2，同理可得理想數據如表2所示。

從表2數據中可以知道，利用（1）式算出的△s'和利用（2）式算出的△s比較，用（1）式算出的有效數字位數是3位，而用（2）式算出的有效位數是2位，說明用（1）式算出的△s'能更準確地判斷該運動是否是勻變速運動，而用（2）式算出的△s在判斷上來說沒那么準確。然而，若把表1中的加速度設為1.0 m/s2，同理可得理論數據如表3所示。

從表3中可以看出，從有效數字位數上來說利用哪個式子算出結果都是3位有效數字，也就是說不必非要用（1）式進行數據處理。

綜上可知，“逐差法”的來歷是在一定的條件下能更準確地判斷運動是否是勻變速運動而產生的一種數據處理的方法，而這種方法不是在什么條件下都優于“臨差法”。也就是說，如果用（1）式算出的△s'有效數字位數不比用（2）式算出的△s的有效數字位數多，就不必要采用“逐差法”。再者，在具體的題目中，兩種方法計算結果差異大時，即爭議大的時候，其題中△s差異也大，也就是說把該運動當成是勻變速運動過于粗略。若題中△s差異小時，則兩種算法結果基本一致，也就不存在爭議了。

4? ?關于利用紙帶獲取的數據求加速度知識的講解和利用紙帶命檢測題時的一些建議

利用打點計時器打出的一條紙帶，對紙帶的數據進行處理是高中物理測試中一個常考的問題。它能很好地考查學生對勻變速運動規律的掌握和理解。通過紙帶主要考查的內容有判斷物體是否做勻變速運動、求物體的加速度和某點的瞬時速度。紙帶利用還在探究自由落體運動、驗證牛頓第二定律等實驗中得到廣泛應用。對比人教社原來的《全日制普通高級中學教科書（必修）物理 第一冊》和后來的《普通高中標準實驗教科書 物理1 必修》，原來書中有詳細推導，而后來刪掉了此內容，筆者認為教學中還是要讓學生對該知識有全面的了解，更有利于學生對知識的理解和掌握。

2019年高考理綜全國Ⅰ卷22題就是考查這一內容的題，但出題者很好地把控著不出現兩種方法計算結果的爭議，所給數據兩種算法基本一致。所以命題時不必要在“逐差法”和“臨差法”方面去細究，文字計算題兩個答案均給分就行了，如果是數字計算，給出的結果應有一個合理范圍。

【參考文獻】

[1]《全日制普通高級中學教科書（必修）物理第一冊》[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]《普通高中課程標準實驗教科書 物理必修1》[M].北京：人民教育出版社，2010.

[3]吳石林，張玘.《誤差分析與數據處理》[M].北京：清華大學出版社，2010.

[4]John R.Taylor 著，王中宇等 譯.《誤差分析導論》[M].北京：高等教育出版社，1996.

[5]熊志權.《物理原來不能這樣考》[M].成都：西安交通大學出版社，2012.

[6]陳恩譜.《物理原來可以這樣學》[M].長沙：中南大學出版社，2018.