數形結合在初中數學中的運用

何軍

【摘? ? 要】中學數學教學活動的展開通常都是圍繞“數”和“形”這兩個基本內容，其中“數”屬于代數范疇，而“形”屬于幾何范疇。在課堂教學中，教師通過將“數”與“形”相結合的方式來進行教學，有助于給學生更加形象地展示代數和幾何中的一些復雜概念。

【關鍵詞】數形結合? 幾何圖形? 代數問題? 函數

中圖分類號：G4? ? ? 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2019.06.141

初中數學不同于小學數學，其內容更多地圍繞最基本的函數和平面幾何展開。在此階段，學生雖然形成了初步的邏輯思維能力和抽象的理解能力，但這些能力還尚未成熟。這種思維特征要求教師在傳授中學基礎數學理論的過程中要層層遞進，循序漸進地展開教學活動。而“數形結合”這一思想恰恰是教師將深奧概念簡單化地傳授給學生的重要方法，也是學生獨立完成課題練習的重要學習方法。

一、數形結合應用的分類

（一）用幾何知識幫助解決代數問題

用幾何知識幫助解決代數問題的方式通常運用于理解抽象概念、記憶復雜公式或者解決函數以及方程與不等式問題。作為一名初中數學教師，在初中數學教學過程中，我們要巧妙地運用幾何知識來為學生講解代數知識。

1.利用幾何知識理解復雜概念和公式。

初中的代數內容仍舊屬于比較基礎的范圍，其研究對象一般是基礎的數的分類以及其代數運算，如：“+”、“-”、“×”、“÷”、乘方、開方……然而，雖然這部分內容研究的范圍比較基礎，但其計算強度卻在逐漸增大，概念的范疇也更加抽象繁瑣。許多基本的數學概念看似與幾何沒有任何關聯，但只有借助幾何圖形來進行表達才能使學生理解得更加輕松。利用“數形結合”的思想來學習初中的代數，其實質就是一個從難到易，由抽象到形象的過程。在初中數學中，教師通常利用數軸進行數的大小以及數量關系的教學，比如：利用數軸判斷-2，0，3，5之間的大小關系;利用數軸判斷互為相反數的幾組數有什么共同的特點;利用數軸使學生明白絕對值“|X|”的幾何含義等等，此外，在初中數學關于平方差公式的教學、勾股定理公式的記憶與運用常常也需要教師通過對圖形進行分割求面積的方法來幫助學生進行理解和記憶。

2.解決函數、方程以及不等式問題對于幾何知識的應用。

在初中數學教學中，“數形結合”的運用主要集中于函數、一元二次方程以及與之相關的不等式中。初中數學所涉及的一次函數、二次函數和反比例函數以及作為函數“基石”的平面直角坐標系是“數形結合”思想在初中數學教學中最優良的代表。平面直角坐標系將函數的變量“X”與函數值“Y”之間的動態關系更加直觀地描繪出來，是“數形結合”化繁為簡的核心作用的具體反映。在函數的教學過程中，學生一次函數的斜率、二次函數的最值和零點的理解都需要教師通過作圖的方式形象地向學生進行講解。而在學習一元二次方程以及不等式的過程中，方程的根以及不等式成立時對應的X的范圍都需要結合二次函數的圖像來進行分析。這也為學生以后高中進一步學習函數根與系數的關系以及更深層次的函數和方程打下思想基礎。

在函數與方程的結合性問題的探討過程中，我們一般是將函數的零點個數問題轉化為是方程的實根數問題，而在一元二次方程Ax2+Bx+C=0的根的求解過程中，我們通常是將其轉變為求證二次函數y=Ax2+Bx+C與x軸交點個數的問題。

（二）利用代數知識解決幾何問題

初中數學課程的教學安排已經逐漸在向學生普及幾何問題代數化這一重要數學思想。在初中數學教學中，平面直角坐標系的引入便是最典型的“數形結合”的基礎方式。初中數學關于利用代數知識解決幾何問題的方法通常用于求解兩點之間線段的長度、求解兩個或多個函數相交的圖像中一次函數的斜率或者反比例函數中的比例系數，比如：

這個題即是典型的利用代數來解決幾何問題的題型。利用兩個公共點來構造一元二次方程，再利用根與系數的關系間接求出比例系數。

（三）數形融合型結題

關于“數”與“形”相互融合，輔助結題的思想在初中數學僅僅體現在圓的方程和幾何概型兩方面，也只是做到了初步運用?！皵敌稳诤稀毙偷乃枷敫嗟氖求w現在高中數學中圓錐曲線的部分，在這里也就不多加贅述。

二、“數形結合”教學法的優勢

隨著“新課改”的推行，初中數學新課程的設置體現了教育者們對于教師和學生對數學思想的認識的強烈重視。與以往版本初中數學教材的內容安排相比，新教材的編纂更加滲透著對于數學思想方法的關注。對于初中階段的學生而言，將“數形結合”思想運用于課堂教學是適應他們心理特征的教學手段之一。對學生而言，在課堂教學中進行圖形的演示能夠凝聚學生的注意力，增加學生對于深奧知識學習的興趣。運用圖形進行講解和分析能使看似復雜的概念變得簡單易懂，學生能輕松發現復雜問題下的簡單規律，在學習的過程中也能使學生在無形中增添對于自己數學問題有效分析能力的信心。再者，教師在使用圖形對知識進行挖掘的過程中，常常涉及到許多非專業或專業的背景知識，這些背景知識的普及不僅能夠活躍課堂的學習氛圍，也能開闊學生的視野，進而達到提高學生數學表達能力的目的。

對初中數學教師而言，隨著多媒體技術和計算機教學的普及和不斷優化，運用幾何圖形對新知識進行剖析和演示實驗也越來越便利。將“數形結合”思想運用于初中數學教學設計中，在一定程度上減輕了傳統講解法帶給課堂的枯燥感，使教師在節約課堂時間的同時也提高了教學質量，留給學生更多的時間去進行自主學習和練習。不僅如此，教師在設計與“數形結合”相關的課題教案時，需要對教學課件進行精心制作，這不僅鍛煉了教師的教學設計能力，也使教師更加熟練的操作相關計算機演示軟件，并及時更新相關的計算機教學技術相關專業知識，從教育技術的角度來看，有助于教師專業知識的“升華”。

三、結束語

總而言之，“數形結合”思想的運用解決了初中數學課程中對于學生來說過于抽象的數學知識，達到了“化繁為簡”的作用，體現了抽象概念與具體概念的高度結合，是初中數學教學最主要的數學思想方法之一，也為學生學習高中更加抽象的數學知識打下了基礎。在“新課改”的指導下，教師需要結合教材內容與學生對知識的實際接受能力，合理選擇方案進行教學，要有意識地結合抽象概念與具體圖形展開教學活動，以提高學生解決抽象問題的能力。