高中數學建模模型的歸類研究

薛林雀

摘 要：新一輪基礎教育課程改革實施以來，圍繞“一是素質教育的口號，二是情感態度價值觀的培養”，各學科提出了學科核心素養以便將素質教育和情感態度價值觀落到實處。就數學學科而言，數學的核心素養有數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六個方面。“數學建模”便是其中之一。因此數學建模的重要性不言而明，但學生在數學建模中，學生很難從實際問題分析出所涉及的數學模型。本文從函數模型、方程模型、不等式模型、數列模型幾個類型入手，分析高中數學建模常見的幾種種類型的的教學過程中的教學路徑，旨在通過有益的探索和討論，提高高中數學教學質量。

關鍵詞：高中數學;模型;歸類

1.高中數學與建模

高中階段是一個學生學習生涯中的關鍵階段，在這一階段開展有效的數學教學，有助學生養成良好的思維習慣和學習習慣。從一個學生學習的整體發展上看來，在高中數學教學的過程中，幫助學生養成良好的學習習慣，幫助他們形成正確的數學思維方法顯然十分重要。

數學建模的思想是高中數學教學過程中每一個階段都非常強調的思想，貫穿了高中數學教學過程。數學建模是對實際問題的本質進行抽象而用數學符號、數學式子、程序或圖形簡潔刻畫某種客觀現象，或預測未來的發展規律，或為控制某一現象的發展提供某種意義下的最佳策略或較好策略。而應用各種知識從實際問題中抽象、提煉出數學模型的過程，稱之為數學建模。它的本質是數學的運用，它在數學學習的各方面無處不在，無處不用。學生在學習的不同階段，都能正確認識到自己需要掌握的建模思維路徑，這對于學生正確理解和接受高中數學相關知識，提高他們把數學理論知識與實際生活結合的能力，激發他們的學習數學的興趣和熱情，提高數學學習能力具有重要作用;從宏觀上看來，學生在高中學習階段就掌握正確的建模思想和方法，對于他們進入到大學等更高層之后從事高等數學及其他學科的學習而言，也是非常有好處和幫助的。

在培養學生數學建模的有關思想的時候，高中數學老師應該占據主導地位。應該從宏觀入手，給學生關鍵性的指導，指引明確的方向。為了達到這一目標，老師應該和學生密切配合，讓學生了解和領會數學建模相關知識和技能為目標，對學生開展卓有成效的數學教學，提高學生的數學學習效率。

2.高中數學建模中的幾種常見類型

（1）函數模型.函數是高中數學的主干內容，函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象、概括、提煉，是研究變量間關系所用的方法。首現，理清題意，理順變量間關系，建立恰當的函數關系式或構造恰當的函數，其次研究所建立函數的性質（定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、圖像等等），求解決數學模型，從而得出數學結論。

例如：某陶瓷廠為了適應發展，制定了以下生產計劃，每天生產陶瓷的固定成本為14000元，每生產一件產品，成本增加210元.已知該產品的日銷售量（單位：件）與日產量

（單位：件）之間的關系式為每件產品的售價（單位：元）與日產量之間的關系式為

（1）寫出該陶瓷廠的日銷售利

潤（單位：元）與日產量之間的關系式;（2）若要使得日銷售利潤最大，該陶瓷廠每天應生產多少件產品？分析：上面題目非常清晰地體現了函數的思想。通過解析，可以設總成本，則日銷售利潤

然后利用以導數為工具對的單調性分析判斷，

在區間的，上單調遞減;在區間，上單調遞增;。所以可以得出結論，故時，日銷售利潤最大。

（2）方程模型.在整個高中階段，方程的思想貫穿了高中學段的始終，方程的思想就是通過分析問題中變量間的相等關系，建立或構造方程（方程組），通過解方程（或方程組），或運用方程的性質分析、轉化問題，使問題易于解決，其關鍵是建立方程。而從高中數學建模的角度上看，方程模型也是一個重要的數學建模模型。從方程本身的思維邏輯路徑上來看，它是一種正向思維，就是利用本身題目描述的等量關系，也往往與函數關系緊密的聯系在一起。將所需要求解的未知數當做一個等式中的已知情況進行考慮，這樣做可以幫助學生跳過相對繁瑣的逆向思維路徑，盡量減輕解決問題過程中的思維負擔，這種方式能夠幫助學生用更加簡便的方法來解決更加復雜的問題。事實上，隨著學生學習數學內容難度的提高，很多學生和老師都不約而同的發現，他們在進行有關數學問題的求解的時候，常常已經離不開方程的方法和思想了，用傳統意義上的逆向思維求解已經不能滿足有關需求了。

例如：某村計劃建造面積為800m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留1m寬的通道，沿前側內墻保留3m的空地，當蔬菜的種植面積為648m2時，求溫室的長和寬各式多少？分析：上述題目非常完備的體現了方程的思想，已知的條件不足以幫助學生逆向思維推出結論，因此老師在教學的過程中為了讓學生更好的理解題意，也為了能夠更加順利的講解題目，應該著重考慮引入方程的思想，讓學生借助方程建模中的正向思維來理解有關知識。具體而言，應該充分認識到，上面題目中提到的已知條件可以構成二個關系式子：溫室的面積（800m2）及種植面積是給定（648m2），其中涉及到兩類4個變量，第一類是溫室的長，溫室的寬;另一類是種植面積的長，溫室的寬。

（3）不等式模型.與以往階段的數學學習不同的是，高中階段的數學教學往往不單純一種相等的關系，而是要通過一些數字和邏輯關系來構建一種或者幾種數量之間的關聯，并且通過已知的等量關系來計算并選擇真正符合實際需要的計算結果。不等式思想的建立，是一個高中生本身數學思想和數學思維形成過程中所不能繞開的一個階段。數學這門學科描述的是數量的關系，以此為邏輯起點可以認為，在數學的世界，既然存在等量關系，就一定有不等關系，學生們如果在頭腦中建立起這樣的思維的話，就會從更高的程度和層次上認識數學，在面對和解決數學問題的時候，思路就會更加開闊.也就是在建模過程中，教師引入不等式關系，知道學生從不等式中尋找問題的答案。

例如：某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，每次運費為6萬元，一年的總存儲費用為次萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，求的值.分析：上面題目非常清晰地體現了不等式的思想，題目中給出的已知條件并不是完全意義上的等量關系，在建模過程中，需要引入不等式的概念，教會學生從不等式中要結果。通過解析，可以得出一年購買次，則總運費與總存儲費用之和，然后運用基本不等式;另外考慮到基本不等式等號成立的條件：當且僅當即時等號成立。所以可以得出結論，故時，一年的總運費與總存儲費用之和最小。

（4）數列模型數列是高中數學中的重要組成部分，在高中數學建模教學的過程當中，數列建模的有關理念不應該被繞開。數列本身描述的是一組前后相繼的數字之間的邏輯遞推關系。數列理念的學習，是為了幫助學生拓寬看待和解決問題的思路，為了幫助學生能夠從更高的層次和角度上看待和解決缺乏等量關系必要條件的數學問題。應該認識到，很多時候，在解決數學問題上，學生們無法獲得必要的等量條件，而數字之間的邏輯關系——例如數列，事實上提供的是一種數字之間的非等量關系，非等量關系的建立，事實上是為學生提供一種或者幾種已知條件，已知條件的獲得，最終能夠幫助學生解決題目中的問題。

例如：王師傅在2018年年底花120萬元買了一套住房，其中首付50萬元，剩余的70萬元采用貸款.貸款的月利率為5‰，按復利計算，從貸款后的次月開始還貸，且每月等額還貸，10年還清.試求每月應還貸約多少元？

以上題目是非常典型的等比數列建模案例，要解答這個題目，只需要求要還款的次數次，設每月應還貸元，則，因此每月應還貸7875元。

3.結語

數學建模是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。讓學生利用數學理論和方法去分析和解決數學問題的過程就是提高他們分析問題和解決問題的能力過程。高中數學老師應該沿著這個方向下功夫、做工作，應重視建模思想的具體運用，激發學生的潛力，培養學生學習數學的學習興趣，提高學生的學習能力，從而提高數學教學效率和學習效率。

參考文獻

[1]李卓林.推進高中數學課程科學化開展的策略[J].武漢教育學院學報，2013（8）

[2]史守林.新形勢下高中數學教學面臨的問題與對策研究[J].科教文匯，2013，（5）

（作者單位：寶雞中學）