拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課堂創(chuàng)新實錄

韓偉 任秀忠

拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（人教A版）選修2-1中的第二章第四節(jié)的內(nèi)容，是繼橢圓、雙曲線之后的第三大圓錐曲線，有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)內(nèi)容在初中二次函數(shù)學(xué)習(xí)中已經(jīng)探討過，學(xué)生已經(jīng)對拋物線并不陌生。根據(jù)拋物線定義推出的標(biāo)準(zhǔn)方程，也為以后用代數(shù)方法研究拋物線的幾何性質(zhì)和實際應(yīng)用提供了必要的工具和基礎(chǔ)，有著承上啟下的作用。

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：掌握定義;掌握拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式及其對應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線。過程與方法：通過二次函數(shù)的圖像發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何特征，進(jìn)一步總結(jié)出拋物線的定義;并分小組探討開口四個方向的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，進(jìn)一步理解求曲線方程的方法—坐標(biāo)法;培養(yǎng)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時能夠具備觀察、類比、分析、計算的能力。情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生體驗研究解析幾何的基本思想，發(fā)現(xiàn)問題，歸納猜想證明的數(shù)學(xué)重要方法，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。

教學(xué)重點與難點

重點：拋物線的定義;根據(jù)具體條件求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。難點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

教學(xué)方法與過程

采用“主動學(xué)習(xí)與創(chuàng)新意識培養(yǎng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式”。

設(shè)計問題，創(chuàng)設(shè)情境 上課開始，播放NBA球員科比的精彩投籃視頻。同時啟發(fā)學(xué)生：多么精彩的投籃，多么優(yōu)美的曲線。有人說數(shù)學(xué)是枯燥的，是抽象的。其實，數(shù)學(xué)是美的，是“玩出來的”。請同學(xué)們合上課本，讓我們一起研究圓錐曲線里的第三大曲線拋物線。請同學(xué)們回憶下，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，接觸過拋物線嗎？學(xué)生馬上回答：在初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的圖像是拋物線。教師繼續(xù)：我們學(xué)過的二次函數(shù)的圖像是開口向上或向下的拋物線，已經(jīng)學(xué)過它的對稱軸、頂點坐標(biāo)等問題。那么拋物線到底有怎樣的幾何特征和哪些性質(zhì)？請同學(xué)們拿出我們的研究性探究學(xué)案，自主完成后以小組為單位進(jìn)行交流并進(jìn)行展示。

學(xué)生探索，嘗試解決 學(xué)生根據(jù)探究學(xué)案進(jìn)行探究，并相互交流所得結(jié)果。老師指導(dǎo)并與學(xué)生交流。學(xué)生利用實物投影說明自己的結(jié)論，老師追問為什么選擇這五個點，測量的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你是如何證明這一規(guī)律的，化簡過程中的關(guān)鍵是什么？對研究問題的方法進(jìn)行總結(jié)。在小組討論和推導(dǎo)中，老師不斷指導(dǎo)學(xué)生討論。

信息交流，揭示規(guī)律 根據(jù)學(xué)生討論的結(jié)果，教師與學(xué)生一起總結(jié)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式，那么如何區(qū)別這四種形式的方程呢？提示：拋物線的開口，焦點在什么軸上與什么項有關(guān);方程中的一次項系數(shù)和焦點的坐標(biāo)值有何關(guān)系;焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程有什么關(guān)系？學(xué)生認(rèn)真思考，討論后回答?？偨Y(jié)為：開口的方向與一次項的系數(shù)的正負(fù)有關(guān)，焦點所在的坐標(biāo)軸就是一次項所對應(yīng)的坐標(biāo)軸，一次項的系數(shù)和焦點的坐標(biāo)值是4倍的關(guān)系，焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程對應(yīng)的值是相反數(shù)的關(guān)系。

運用規(guī)律，解決問題 教師給學(xué)生兩組習(xí)題讓學(xué)生快速完成。

1.求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：

（1）y2=20x （2）y=2x2

（3）2y2+5x=0 （4）x2+8y=0

2.根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）焦點是F（3，0）（2）準(zhǔn)線方程為x=-? （3）焦點到準(zhǔn)線的距離是2。

通過習(xí)題學(xué)生熟悉標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線，焦點的關(guān)系，讓學(xué)生感受到拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式對解題的重要性。

變練為編，深化提高 將題目變一變，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維，請每組同學(xué)編出一道拋物線的問題，其他同學(xué)解答，并進(jìn)行小組討論。學(xué)生分別組成小組編制試題，有的是簡單數(shù)值的變換，有的是多條件的變換，通過編題，把權(quán)利下放給學(xué)生，調(diào)動了學(xué)生的積極性，發(fā)揮了學(xué)生的創(chuàng)造性。

信息交流，教學(xué)相長 讓學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律，如已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，先定量后定位，反之要先定位再定量;由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式都只含有一個參數(shù)p，因此只要給出確定p的一個條件就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。當(dāng)拋物線的焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就惟一確定。

反思小結(jié)，觀點提煉 本節(jié)課除了學(xué)生掌握拋物線的定義和拋物線的四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程這些知識之外，我們還通過研究幾何性質(zhì)運用了歸納猜想，證明重要數(shù)學(xué)方法體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想;通過推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程給拋物線插上了數(shù)的翅膀，為進(jìn)一步研究拋物線的幾何性質(zhì)打下基礎(chǔ)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，還需要同學(xué)之間的合作探究精神和認(rèn)真觀察、善于思考、大膽猜想、小心證明的良好思維品質(zhì)。同時給學(xué)生留下課后作業(yè)，讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識內(nèi)容說明二次函數(shù)。

結(jié)束語

借助學(xué)生原有知識結(jié)構(gòu)，從學(xué)生最近思維發(fā)展區(qū)上提出問題，是本節(jié)課一大特點。本節(jié)課以開口向上的拋物線為研究對象，改變了教材中以開口向右的拋物線為研究對象的做法，實際是對已學(xué)習(xí)的二次函數(shù)圖像的升華，使學(xué)生更容易理解和接受拋物線的定義。

（作者單位：山東省惠民縣第一中學(xué)）