應用二元一次方程組

冷曉冰

教材分析：本節課是北師版八年級上冊第五章第三節，是應用二元一次方程組解決實際問題的第一節課。根據北師大版本教材的編寫意圖，教材當中，連續三節課的內容都是二元一次方程組的應用，按照難易程度區分。本節課是應用二元一次方程組的第一節課，要求學生能夠分析簡單問題中的數量關系，并通過建立方程組解決問題。

教學目標：1.知識與技能：能分析簡單實際問題中的數量關系；能根據得到的數量關系建立方程（組），解決問題；體會方程（組）是刻畫現實世界數量關系的有效數學模型，發展模型思想和應用意識；2.過程與方法：本節課以游戲引入，讓學生分析簡單的實際問題中的數量關系；以《九章算術》《算法統宗》等著作中的題目貫穿于教學中，用不斷傳授給學生“武功秘籍”的方法鼓勵學生，使不同層次的學生都能夠得到最大的提升；通過“稀有殘卷”的研討將整個課程的思維高度推向高潮；3.情感態度及價值觀：本節課引用的所有題目均出自中國古典數學文獻，并在學案（秘籍）中清晰注明，希望學生能夠通過這樣的方式了解中國的數學文化，以中國的數學文化為驕傲。并且，鼓勵學生，中國數學的崛起不僅要依靠先輩的智慧結晶，此時此刻的不懈努力更為重要。

教學過程：

一、引入新聞熱點

以新聞熱點作為引入，激起學生興趣。以感受數學世界的武俠情懷為主線，從學生興趣出發開展游戲。

游戲目標：通過游戲，使學生能夠體會數量關系，會列簡單的二元一次方程。再通過小組合作，學會列二元一次方程組。

設計意圖：活潑輕松的情景引入讓孩子更加迅速地進入了愉快的課堂氛圍中，體現出綠色課堂學科生活化、生活學科化的理念。

【游戲情景一】（武俠劇當中閉關修煉的情景）男孩修煉時需要雙腳站立，女孩修煉時需四腳著地，打開密室需要20只腳同時踩到機關，不能多，也不能少。

教師：請問，需要幾位男同學、幾位女同學共同開啟密室之門？

學生們隨意列舉，列舉的過程中

教師追問：你是怎樣確定一共有20只腳的？

連續找三名學生作答。

教師：老師發現，每一位回答問題的同學都列舉出了一種可以開啟練功密室的方案，一共有多少種開啟密室的方案呢？這些方案都是什么？請小組討論后報告。

教師提問：你們小組是怎樣得到這樣的結論？

預設回答：數數得到的。

教師補充提問：在數數的過程當中，你能發現男生人數、女生人數與20之間有什么數量關系嗎？

學生：男生人數乘以2加上女生人數乘以4等于20。

此處板書：男生人數×2+女生人數×4=20。

設計意圖：得出表格后，如果情況合適，教師可以提一句：我們列舉發現，隨著男生人數的增加，女生人數就要減少。

【游戲情景二】進入密室后，我們發現這門武功只能7個人同時修煉，這時，請問方案中還有哪些是可行的？

學生：一共去4名男生、3名女生。教師：只剩這一種組合方案了嗎？學生：是。教師：為什么？學生：因為男生人數、女生人數要滿足：男生人數×2+女生人數×4=20。

此處板書：此外，還要滿足： 男生人數+女生人數=7。

設計意圖：此處讓學生自主感受并表達。由于本節課是應用二元一次方程組的第一節課，可以在此處適當補充解釋本題與普通二元一次方程的差別，例如為什么本題的二元一次方程不是無數組解等等。

此處板書，規范步驟。

教師引導：只規定男生人數與女生人數一個數量關系時，發現有多個組合方案滿足數量關系，但用兩個數量關系進行約束時，滿足條件的組合方案就只有一組。你想到了什么？

二、深化新知

情景引導：

教師：可以看出大家閉關修煉十分認真，接下來看看大家能否順利出關，探索更深層次的知識。

出關檢驗：

教師：《孫子算經》是我國古代一部較為普及的算書，有一道和閉關修煉的題目極為相近的問題。題目為：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？如果學生理解困難，教師可問：本題關鍵性條件是什么？（本題意在規范解題步驟。）

設計意圖：簡單分析后，由學生在練本上獨立完成過程中，可觀察學生，找典型的例子，讓學生到黑板上演示，比如步驟規范、完全正確的學生；應用一元一次方程解題的學生；用脫式計算解題的學生。然后討論哪種方法更好，進而得到結論：沒有最好的方法，只有針對這個問題最適合的方法。

此處總結，板書題目。

銜接語：恭喜孩子們順利出關，接下來，我們就可以修煉武功秘籍了。

說明：完成每一本秘籍，出關檢測后，就可以學習更高的層次的秘籍，并且為每個層次的孩子都準備相應的閉關攻略。

初級武功閉關攻略：冷老師邀請小雞、小兔到家中做游戲，若將全部小雞平均分成三隊，則每隊小雞比小兔多五只，若將全部小雞平均分成四隊，則每隊小雞比小兔多一只，請問，冷老師分別邀請了多少只小雞和小兔到家中做游戲？

處理方法：通過簡單的問題設置，讓學生得到重要的數量關系，通過ppt互動、研討，從而解決問題：（1）本題如何設置未知數？______________________。（2）將小雞平均分成3隊，每隊小雞只數為_____。根據每隊小雞比小兔多5只，可列方程：__________。（3）將小雞平均分成4隊，每隊小雞只數為_____。根據每隊小雞比小兔多1只，可列方程：__________；

設計意圖：此處設計意圖是為了給孩子們鋪設臺階，教給孩子自主學習的方法，學會用“漁”解“魚”。

答：冷老師邀請了48只小雞、11只小兔。

初級武功檢測題：我國古算題以繩測井，若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺，繩長井深各幾何？

設計意圖：通過比較兩道題的微小差異，讓學生對這種學習方法產生了興趣，使其在后續內容當中喜歡上這種能夠挖掘自身潛力、全身心投入思考、自主解決問題的過程。

處理方法：跟孩子直接分析這道題與上一題的關系，得到結論：題目完全相同，進而直接展示答案。

銜接語：說明這一環節的規則，完成秘籍當中的第一頁高級武功出關檢測，再到第三頁的答案當中訂正，如果無誤，即可沖擊“絕世秘籍”。如果遇到困難，請到第二頁當中參考高級武功閉關攻略，“絕世秘籍”的修煉方法與高級武功相同。

三、高效練習

高級武功檢測題：我國古算題大意為：5頭牛、2只羊共價值10兩“金”，2頭牛、5只羊共價值8兩金，每頭牛、每只羊各價值多少金？

高級武功攻略篇：冷老師邀請一部分小雞、小兔到家里做客，如果邀請五只小兔、兩只小雞，需要為它們準備10個蘿卜作為午餐，如果邀請兩只小兔、五只小雞，需要為它們準備8個蘿卜作為午餐，問：午餐時，每只小兔和小雞各需要多少蘿卜作為午餐？

完整攻略：（1）設午餐時，小兔吃x個蘿卜，__________。（2）五只小兔吃蘿卜__________個，兩只小雞吃蘿卜__________個，五只小兔、兩只小雞共吃了10個蘿卜，可列方程為：__________。（3）兩只小兔吃蘿卜__________個，五只小雞吃蘿卜__________個，兩只小兔、五只小雞共吃了8個蘿卜，可列方程為：__________。

絕世秘籍檢測題：《算法統宗》中記載了一個問題，大意是：100個和尚分100個饅頭，大和尚1人分3個饅頭，小和尚3人分1個饅頭，問：大小和尚各有多少人？

設計意圖：基于對生命的尊重，所以教師做了這兩種類型的攻略設計，期望每一個孩子都能根據自己的實際情況找到自己真正需要的梯子，爬到成功的高處。基本攻略主要服務于尋找等量關系有困難的學生，完整攻略主要服務于對方程有畏難情緒、無從下手的學生。

絕世秘籍攻略篇：冷老師為即將來家里做客的100只小雞、小兔準備了100個蘿卜，已知每只小兔子吃3個蘿卜，3只小雞吃1個蘿卜，冷老師分別邀請了多少只小雞和小兔來家里做客呢？

基本攻略：（1）小雞和小兔的總數是__________只。（2）如何表示小兔吃掉的蘿卜總數？__________。（3）怎樣表示小雞吃掉的蘿卜總數？__________。（4）小雞和小兔吃掉的蘿卜總數是__________個。

完整攻略：設小雞有x只，小兔有y只。（1）小雞、小兔總數量為100只，可列方程為：__________。（2）小兔吃掉的蘿卜總數為：__________。（3）小雞吃掉的蘿卜總數為：__________。（4）小雞和小兔吃掉的蘿卜總數為100個，可列方程為：__________。（5）將兩個關于x和y的方程聯立方程組為：__________。

四、拓展提升

情景引導：

教師：以《紅樓夢》為例，說明殘缺的美引人無數遐想，今天，我們也在武功秘籍中兜兜轉轉找到一副《稀有殘卷》，在這里跟大家分享。

稀有殘卷：

根據《九章算術》大意改編：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；_________殘卷丟失部分__________，問有多少人？該物品價值多少錢？

小組討論方向：

所填內容是否唯一？

所填內容是否任意？

總結討論并引導：這類問題不能任意填寫，是因為受到了某些因素的限制，那為何不從受限制的因素出發，進行逆向思考呢？先給出合理的解，再填寫缺失條件。

設計意圖：本題全面考查學生對數學模型的掌握，體現了檢驗方程組的解的必要性，如果條件設置不當，可能導致解出現分數，而在實際問題當中不符合題意，所以不能隨意在丟失的部分增添條件，需仔細思考。因此，會有一部分逆向思維比較活躍的孩子從解入手去思考，先給出合理的解，然后倒推增加合適的條件，從而全方位感受到方程模型。

五、總結升華

教師：今天大家在一本本武功秘籍中看到的題目都出自千百年前中國的數學名著，比如《孫子算經》《九章算術》等等。同學們，你們作為學生，老師作為一名數學人，我們應該為中華數學的歷史感到驕傲和自豪，在未來，為中華數學創造更為輝煌的歷史，興我中華數學深厚文化，這樣的重任，誰來承擔？

學生：我們。

設計意圖：此處設計是個人一直以來比較執著的情感升華環節，我們培養孩子擁有全面能力、綜合素養的目的就是為了讓學生具備這種社會責任和家國情懷。

（責編 唐琳娜）