從壓軸題談中學函數的教學

【摘要】 好的練習題是一種寶貴的教學資源，蘊含著很高的教學價值.本文結合實例教學，分析函數在整個高中數學中的地位和重要性，提出函數教學的幾點建議.

【關鍵詞】 函數；導數；恒成立；單調性；極值

在高中新課程中，函數是實際應用最多的內容之一，它是反映現實生活和其他學科規律的基本數學模型.函數作為高中數學的主要內容，貫穿于整個教學的始終，而且大部分章節都涉及函數及其思想方法，其理論和應用涉及數學的各個分支領域.

再從高考來看，數學主要有6大模塊，分別是三角函數、數列與不等式、立體幾何、圓錐曲線、概率統計和導數.三角函數本身就是一類特殊的函數，各種函數性質都十分明顯；數列也可當作特殊的函數（離散的函數）來對待；不等式的各類解法中，有相當一部分會利用到函數單調性等性質來解答；立體幾何看似與函數沒有多大關系，但是一般情況下，理科的立體幾何會用到空間向量，而空間向量的很多解法和函數息息相關；圓錐曲線在很大程度上需要借助于圖形建立一個方程，利用方程的思想來解題，因此圓錐曲線題在很大程度上可以認為是一類特殊的函數題；概率統計中有許多類似于概率密度函數等與函數相關的概念，而統計方法中也會涉及相當多的函數思想.

函數與各大模塊的關系都非常緊密，是整個高中數學的基礎.高考中直接或間接與函數相關的考題，占到了100分左右，函數與導數屬于核心考點，其地位不言而喻.所以說沒有學透函數的性質相當于沒有學好高中數學，在高考中是很難取得好成績的.

比如在恒成立問題中，單調性常常是得力的工具.

例1 已知f（x）= a x -lnx，若f（x）≥5-3x恒成立，求實數a的取值范圍.

命題者提供的參考答案是：由f（x）≥5-3x得，a≥xlnx-3x2+5x.設g（x）=xlnx- 3x2+5x，則g′（x）=lnx-6x+6.設h（x）=g′（x），則h′（x）= 1-6x x ，h（1）=g′（1）=0.當

在以上證明中，“當x∈（0，1）時，lnx

在解決壓軸題時，若能及時轉換思路，將問題轉化成與之等價的、易于求解的問題，將會收到事半功倍的效果.下面略舉一例加以說明.

例2 已知函數g（x）= x lnx ，f（x）=g（x）-ax.

（1）若函數f（x）在（1，+∞）上是減函數，求實數a的最小值.

（2）若x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）f′（x2）+a（a>0）成立，求實數a的取值范圍.

答案 （1）a的最小值為 1 4 （證明略）.

（2）：命題“若x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）f′（x2）+a（a>0）成立”等價于“當x∈[e，e2]時，有f（x）minf′（x）max+a”.當x∈[e，e2]時，2 ”.但是有相當一部分學生對于“0

如果此時能及時轉換思路，進一步將其轉化成等價命題，問題也就迎刃而解了.

“若x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a（a>0）成立”

從以上例子可以看出，數學問題中的思路轉換也很重要，它能夠把問題由復雜化為簡單，大大減少運算量.由此可見，函數是學生學習的一個重點，更是一個難點.教師應該從高一開始就培養學生的函數意識，在以后的學習過程中逐步認識函數、理解函數、掌握函數.這就需要教師在教學過程中站位要高，不僅要顧及到現今學段的內容，更要對日后的學習有所鋪墊.高一數學主要是對一些基本初等函數的學習，教師可多舉一些生活中的例子幫助學生學習掌握；高二數學主要是函數思想在不等式、直線、圓錐曲線等方面的簡單應用；高三數學主要是運用函數知識對6大知識模塊的整合與綜合運用.

無論是新課教學還是復習課，都應重視有關概念的理解和應用.筆者認為教學中應注意以下幾個方面：

（1）抓住集合、映射、函數間的知識聯系，是函數教學的重點和難點，只有抓住這條主線，才能使函數概念及有關內容脈絡清楚.

（2）注重“數形結合”的教學.

數形結合通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題.在借助圖像研究函數的過程中，要讓學生經歷繪制圖像的具體過程，提高學生的自主學習能力和思維水平.對于圖像，要抓住“作圖”和“變圖”兩個關鍵，以及變圖常用的幾種方式——平移、對稱、放縮、復合等.

（3）不等式和方程是求解函數問題的兩個工具，教學要使學生從函數的角度，由“數”到“形”的對方程（組）、不等式加深認識，提高學生舊認識的深度.

（4）函數式的恒等變形往往是函數壓軸題的突破口.

（5）掌握函數的單調性，奇偶性等性質對解題十分有利，如例1的求解.

（6）求最值是函數的重要應用，此類型綜合性強，知識面覆蓋廣，要通過加強訓練，增加趣味性等方法以達到預期目標.

（7）分段函數、復合函數是初高中函數內容的分界線，要讓學生知道為什么會有分段函數，即分段函數的實際背景.