轉化思想在高中數學中的應用

黃培芳

隨著二十一世紀經濟的飛速發展，知識經濟的來臨，“科教興國”戰略的確立以及新一輪基礎教育改革的實施，高中數學課程改革也進入一個重要時期。特別是在新的課程標準下，數學思想的教學顯得更為重要。高中數學中蘊含的數學思想很多，基本的數學思想有轉化思想、數形結合思想、分類討論思想、方程思想、函數思想等，而轉化思想是這些思想中最基本的數學思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式。下面舉一些例子來說明數學轉化思想在函數和幾何教學中的應用，更好地利用數學思想來提高學生的素質，以便學生今后能用這種數學思想方法來解決實踐中遇到的各種問題。

一、轉化思想在函數中的應用

函數是高中數學教學中的重點和難點，由于函數的抽象性給教學帶來了一定的困難，如果能合理運用轉化思想來教學，能讓學生在遇到未知問題時迅速把它轉化，從而求解。如某些數學問題，在題目或結論中出現“至少”“至多”或者“不”之類的否定詞的時候，可從問題的結論入手，或者從命題的條件或結論的反面思考從而解決問題。

例1? 已知a為實數，函數f（x）=alnx+x2-4x

（1）是否存在實數a，使得f（x）在x=1處取極值？證明你的結論。

（2）設g（x）=（a-2）x，若存在x0∈? ? ? ? ?，使得f（x0）≤g（x0）成立，求實數a的取值范圍。

分析：（1）先求出函數的定義域，再求導。假設存在實數a，使f（x）在x=1處取極值，則f′（1）=0，解出a的值。根據x=1的左右單調性是否相同，即可判斷x=1是不是極值點;

（2）在? ? ? ? ? ?上存在一點x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，（x0-lnx0）a≥x02-2x0，而要求a的取值范圍，需把a分離出來，要分離a 必須先確定a前面的系數x0-lnx0的符號，構造函數F（x）=x-lnx再求F（x）的導數，F′（x）=? ? ? ? （x>0）

∴當0

當x>1時，F′（x）>0，F（x）單調遞增;

∴F（x）≥F（1）=1>0，即x-lnx>0，（x>0）.

所以不等式可轉化為? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，再構造出函數G（x）=? ? ? ? ? ? ? ?（x∈? ? ? ? ? ?）。

從而把問題轉化成a≥G（x）min，對G（x）求導，確定G（x）的單調性，求出G（x）的最小值，即可求出a的取值范圍。

點評：本題第（2）小題考查解決存在型不等式，通過轉化思想把它轉化為用導數解決單調性的問題，培養了學生運用知識解決問題的能力、轉化能力和運算能力。

二、轉化思想在解析幾何中的應用

解析幾何是高中數學的一個重要組成部分，它是以解析幾何學的基本內容和思想為背景材料，用代數方法研究平面幾何問題。因而在解析幾何的學習中充分利用轉化思想，就可以起到化繁為簡、事半功倍的效果。

例2? 如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知F1，F2分別是橢圓E：? ? ? ? ? ? ? ? （a>b>0）的左、右焦點，A，B分別是橢圓E的左、右頂點，且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（1）求橢圓E的離心率;

（2）已知點D（1，0）為線段的OF2中點，M為橢圓E上的動點（異于點A、B），連結MF1并延長交橢圓E于點N，連結MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q，連結PQ，設直線MN、PQ的斜率存在且分別為K1、K2，試問是否存在常數λ，使得K1+λK2=0恒成立？若存在，求出λ的值;若不存在，說明理由。

分析：（1）由? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，易得

。所以得到a+c=5（a-c）所以2a=3c，故橢圓E的離心率為? ? 。

（2）中的條件較多，如果從結論來分析的話，學生可能會設存在λ，從而設法來求λ的值。但結合題目中的條件無從入手，而解析幾何就是用方程表示曲線，用代數的方法去研究幾何圖形。所以從已知條件入手，直接假設點的坐標后進行代入點D（1，0）為線段OF2的中點，所以c=2，從而a=3，b=? ? ，左焦點F1（-2，0），橢圓E的方程為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

設M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），則直線MD的方程為y=? ? ? ? ? （x-1），即x=? ? ? ? y+1，代入橢圓方程

整理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

從而把它轉化為方程，再利用根與系數的關系得到

∴? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。從而? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，故點P? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

同理，點Q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

∵三點M、F1、N共線，

∴? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，從而x1y2-x2y1=2（y1-y2）.

從而

故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，從而存在滿足條件的常數λ=? ? ? ? 。

由條件代入直接轉化進行求解是我們最基本的解題方法，而解析幾何的條件中很多是給出圖形的條件，因而當我們考慮一個解析幾何問題時，首先應該去考慮能否利用已知條件中的“形”，由“形”直接轉化到“數”來解決，而大部分題目的確都能通過這個轉化來解決。

三、轉化思想在立體幾何中的應用

中學立體幾何的主要內容，不外乎直線和平面、多面體和旋轉體兩大部分。在解決這兩部分內容的某些空間問題時，僅憑空間有關描述是不能具體刻畫出它們的相對位置關系的。這時，我們常常運用轉化思想，使其轉化到平面圖形來，采用平面幾何的知識來準確刻畫出空間關系。

例3? 已知正四棱錐P-ABCD 的底邊長和各側棱長均為13，M、N 分別是PA、BD上的點，且PM：MA=BN：ND=5：8。（1）求證：直線MN∥平面PBC;（2）求直線MN與平面ABCD所成的角的正弦。

分析：二面角是從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形，是空間角，可轉化為用二面角的平面角來度量它。求二面角的大小，一般的方法是先作出二面角的平面角，再求其大小。題中要求直線MN與平面ABCD所成的角，是先轉化為直線PE與平ABCD所成的角，再轉化成平面幾何的角∠PED，然后計算出sin∠PEO的大小而完成的。

解：（1）如圖，因為P-ABCD是正四棱錐，所以是ABCD正方形。連結AN并延長BC交于E，連結PE，因為AD∥BC，所以EN：AN=BN：ND。又由已知BN：ND=PM：MA，所以MN∥PE，PE在平面PBC內，故MN∥平面PBC。

（2）由（1）知MN∥PE，所以MN與平面ABCD所成的角就是PE與平面ABCD所成的角。

設點P在底面ABCD的射影為O，連結OE、OP，則∠PEO為PE與平面ABCD所成的角。根據正三棱錐的性質，得PO=

=? ? ? ? ，又根據（1）知BE：AD=BN：ND=5：8，所以BE=? ? ? 。

在△PBE中，∠PEO=60°，PB=13，BE=? ? ，由余弦定理得PE=? ? ?。在Rt△POE中， PO=? ? ? ? ，PE=? ? ?，所以sin∠PEO=

=? ? ? 。故直線MN與平面ABCD所成得角的正弦值為? ? ? ? ?。

立體幾何中空間向平面轉化的形式是多種多樣的。除此以外，立體幾何中有關度量問題也可以向平面度量轉化的，例如在空間角的度量中是轉化為平面角，用平面角的度量方法來度量的等。同時，空間圖形的面積也是轉化到平面圖形的面積來度量的。只要我們在教學和學習中，多加總結，注意運用，立體幾何的許多問題就會化難為易，得到解決。

轉化思想不僅應用在函數和幾何方面，實際上轉化思想也應用在三角函數、向量、數列、不等式等問題?？v觀整個高中學習過程，我們可以看到轉化思想是處理數學問題的一種基本思想，掌握數學轉化思想方法可以使數學問題更容易理解，更重要的是領會數學轉化思想是通向遷移大道的“光明之路”，形成“數學素養”、樹立創新意識的關鍵，它能使學生在未來的學習中終身受益。