立足課本，培養學生思維能力

吳桂鵬

【摘要】本文緊緊圍繞“在數學學習中，如何立足課本，培養學生思維的發散性、靈活性、創造性”進行論述，以激發學生的數學學習興趣，讓學生在學習過程中養成獨立思考、積極探索的習慣。

【關健詞】例題;專欄;習題;思維

例題是教材的重要組成部分，是學生掌握教材中基礎知識、基本技能的重要來源，也是老師傳授知識的紐帶，它蘊含著豐富的教學功能，處理好例題的教學，對教學質量的提高、學生智力的發展、思維品質的培養都至關重要。課本中的“探究、思考、提示、問題”專欄以及習題，是為了讓學生形成積極主動、形式多樣的學習方式進一步創造條件，以激發學生的數學學習興趣，讓學生在學習過程中養成獨立思考、積極探索的習慣。基于此，本文對在數學學習中如何立足課本作了系列探討。

一、例題教學培養學生的發散性思維

數學是一個具有內在聯系的有機整體，各不同分支、不同部分，都是相互聯系、相互滲透的。在課本例題的學習過程中，應該沖破課本解法的定勢思維，多層次、多維度分析，使得學生在知識及方法的縱橫方向分別得以拓廣和延伸，培養學生的發散性思維。

此解法是教材的解法，在教學中讓學生仔細體會兩個動點之間的關系，建立兩個動點坐標間的線性關系，利用坐標代換得到所求動點的軌跡方程。這種解法體現了轉化的數學思想，值得師生共同回味。此時進一步追問：是否有其它解法呢？

分析：引導學生利用圓的標準方程轉化參數方程，并將所求動點的坐標用參數來表示，通過消去參數得到所求動點的軌跡方程。

這種解法讓學生看到了利用參數方程解題的簡潔性。 除了利用“參數法”進行求解，我們還可以構建一個變動的三角形，在變動中尋找不變化的幾何量，利用圓的定義得到所求動點的軌跡方程。

引導學生對課本例題的再思考，不僅可以通過少量的問題去溝通各部分知識間的聯系，拓寬解題的思路，而且有利于培養學生創新精神。

又如：普通高中課程實驗教科書《數學·必修①·人教A版》第三章第二節例4：人口問題是當今世界各國普遍關注的問題，認識人口數量的變化規律，可以為有效控制人口增長提供依據。在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯就提出了自然狀態下的人口增長模型：y=y0 ert，其中t表示經過的時間，y0表示t=0時的人口數，r表示人口的年平均增長率。下面是1950～1959年我國人口數據資料。

（1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國這一時期的具體人口增長模型，并驗證所得的模型參數提取與實際人口數據是否相符？

（2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達到13億？

我設計了下面的問題讓學生獨立探索：

（1）本例中所涉及的數量關系有哪些？

（2）描述所涉及數量關系的函數模型是否是確定的？確定這種模型需要幾個因素？

（3）根據表中的數據如何確定函數模型？

（4）對于所確定的函數模型怎樣進行檢驗，根據檢驗結果對函數模型又應如何作出評價？

（5）如何根據所確定的函數模型具體預測我國某個時期的人口數？實質是何種計算方法？

問題一提出，學生興趣盎然，個個躍躍欲試。通過利用計算器作出函數的圖象，并由表中數據作出散點圖，通過比較來確定函數模型與人口數據的吻合度。

學生通過積極思考、主動參與、認真觀察分析所給的圖象，按問題和探索步驟逐步思考、分析、討論、解答、交流。學生的讀圖能力得到了提高，理解到表格是函數對應關系的一種重要表現形式。通過對例題的深層次探索，學生學會了解決問題的方法方式，掌握了正確的思維習慣，綜合素質也不知不覺得到了提高。

二、“探究、思考、提示、問題”專欄，激發學生的思維興趣

《新課標》倡導積極主動、勇于探索的學習方式，要求學生通過自主探索、主動學習而獲得知識，鼓勵學生積極參與學習全過程。為了體現這一新理念，教材中設有“探究、思考、提示、問題”專欄，往往能提出擊中要害的關鍵問題。

例如：在教學“圓的一般方程”時，先是利用課本中的“探究”專欄，方程“x2+y2+Dx+Ey+F=0”在什么條件下表示橢圓？讓學生進行討論并探索結論。因為有了課本中的思考題：“x2+y2-2x+4y+1=0表示什么圖形？”作基礎，學生都能動手配方變形后展開討論，迫使學生進一步探索得出結果，教學中的難點也得到解決。像這樣的專欄，每個章節都有，同學們分組討論、交流、合作、歸納，共同展示探索成果，取長補短，共同提高。在探究過程中，能充分調動學生參與的積極性，激發學生的思維興趣，讓學生養成了主動學習的良好習慣。

又如：在完成“簡單的線性規劃問題”的教學任務后，安排學生學習“閱讀與思考”的內容，題目如下：

課本提供了一種錯誤的解法：聯立①②這兩個不等試，用類似于解二元一次方程組的方法分別求出x和y的范圍，然后直接代入后面的式子求范圍，即：

錯解原因：忽略了x和y的相互制約關系，所得出的取值范圍比實際的范圍要大。

這種解法整體上保持了x和y的相互制約關系，因而得出的范圍是準確的。看到了學生的學習熱情，我又組織學生探究這樣一個問題：能否利用本節的內容求解？

這種解法能清晰讓學生知道x和y之間存在著相互制約關系，圖解法是解決線性規劃問題有效的方法，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關健。

三、高效使用習題，提高學生的思維能力

學生在做習題時，我堅持做到：學生能夠說的，教師不說;學生能做的，教師不做;學生能想到的，教師不提醒。由學生先講，先做，在小組討論中讓學生闡述自己的觀點。比如在教學“圓的一般方程”時，教完例題后，我讓學生做課本的B組題：等腰三角形的頂點A的坐標是（4，2），底邊一個端點B的坐標是（3，5），求另一個端點C的軌跡方程，并說明它是什么圖形？此題先讓學生獨立完成，并指名讓學生在黑板上表演。經觀察，大部分學生為自己的勝利而感到高興，沾沾自喜。90%的學生求出的方程是“（x-4）2+（y-2）2=10”，而忽視了題目的隱含條件：“C與B不能重合，C與B關于A的對稱點也不能重合。”有七、八位思維嚴密的同學不同意以上的解法，經過自己的驗證，他們認為這種做法是有問題的，題中還有隱含條件，經過這些同學的適時點拔、補充、解答，此時同學們才恍然大悟。接著讓學生獨立完善解題后，自己總結出求軌跡方程的解題步驟。由于學生參與解題的全過程，對出現錯誤的印象非常深刻，這樣的教訓是刻骨銘心的。這種做法，讓學生經歷活動的全過程，讓學生不斷完善認知結構的過程，真正讓學生參與學習的全過程。同學們在積極的探索中不知不覺地學到了知識，提高了學習能力，流露出探索成功的喜悅。

課本是教學之本，深挖教材的潛力，充分發揮教材的自身作用，處理好課本的例、習題以及“探究、思考、提示、問題”專欄的教學十分重要;吃透課本知識，才能全面、系統地掌握基礎知識和基本方法，構建數學的知識網絡，以不變應萬變。