淺論高中數學最值問題解題思路與技巧

鄭偉楨

最值問題是高中數學重要教學內容，也是高考數學的重要內容，從歷年高考數學試題中，看出最值問題甚至占有“半壁江山”的地位。高中數學最值問題知識點分布多，表現形式多樣，就最值問題的本質看，其解題通法主要包括單變量函數最值問題和多變量函數最值問題。本文通過梳理高中數學最值問題解題通法認識，繼而給出學習建議，希望可以取得好成績。

1 高中數學最值問題分類解題通法

1.1單變量函數最值問題

單變量函數最值問題的解題方法受性質所決定，我們在高中數學學習中，要熟練掌握基本初等函數模型、函數性質，靈活運用函數的定義域和單調性，尤其是一次函數和二次函數。但是，有很多單變量函數最值問題無法用基本初等函數解題，還需要引入導數工具，理解和掌握高次函數、基本初等函數四則運算。

案例1：經過點P（1，1）繪制直線AB，直線和坐標軸在第一象限圍成三角形AOB。求解：三角形AOB面積最小時，直線AB方程和三角形AOB面積。

解析：想要求解三角形AOB面積最小時，直線AB方程，那么首先需要求出三角形AOB面積的表達式。結合題意得知，求解三角形AOB面積的表達式需要直線AB方程，那么第一步要假設直線AB方程式。

總結：題目中三角形面積表達式雖然不是基本初等函數模型，是關于的單變量函數。因此，在解題中，使用基本不等式計算，從函數性質出發，運用導數工具，列出式子（為正常數），結合函數性質和圖象，即“對勾函數”性質，可以輕松解決單變量函數最值問題。

1.2多變量函數最值問題

高中數學中函數并不是只有一個變量的式子，而是有很多含有兩個及以上的變量，即多變量函數。多變量函數最值問題的解題方法是結合已知條件，列出多變量之間的等量關系，然后利用多變量的等量關系，對自變量進行等量關系消元后，將多變量函數轉變為單變量函數，利用導數工具進行求解;然而，并不是所有的多變量函數都可以轉化為單變量函數，因此需要利用基本不等式進行求解。

總結：題目中是一個兩變量最值問題，從題意可以看出，已知條件是兩變量的等量關系，這道題的解法有兩種，一種是方程思想解題，一種是基本不等式解題。因為運用方程思想解題，結合已知條件的變量等式消元轉化，是單變量函數最值問題，但是解題運算量很大。所以，考慮用基本不等式解題，結合已知條件結構，用“1”代換基本不等式，可以輕松求解多變量函數最值。從案例可以看出，多變量函數可以轉化為單變量函數或者利用基本不等式的二元整體思想求解。

2 高中數學最值問題學習建議

2.1 關注最值問題本質學習

作為高中生在學習高中數學最值問題時，要抓住本質學習，可以將最值問題和生活實際問題聯系學習，從生活實際出發，既能保持學習興趣，也增加了自身問題分析解決能力，提高數學應用學習能力，真正認識和掌握最值問題的本質。也可以將實際生活問題轉化為最值問題思考，雖然最值問題表現形式多樣化，但是學習最值問題本質“萬變不離其宗”，就可以將最值問題層層剝離，剔除實際背景，將問題轉化為數學最值符號語言，通過分析歸納，構建函數模型，運用單變量函數和多變量函數思想求解最值問題。

2.2 注重數學思想方法學習

最值問題表現形式多樣化，在高中數學中知識點分布較廣，因此在高考試題中，最值問題難度較大，很多同學一看到最值問題就感覺無從下手。筆者作為一名高中生，僅結合自身在解題中的經驗，總結出單變量函數和多變量函數最值問題解題通法，提出要抓住最值問題本質學習，注重數學思想方法學習建議，希望可以幫助同學學好最值問題，考出好成績。