明“理”解困　以“理”入法

凌炎

摘要：豎式除法的計算是小學數學教學的難點。豎式除法計算中蘊含的算理沒被完全理解是學生頻頻出錯的重要原因。本文對其中的算理做簡要分析，以拋磚引玉，供廣大數學教師參考。

關鍵詞：小學數學 豎式除法 計算 算理

筆算除法是小學計算教學中重要的知識點，也是一個老大難問題。傳統教學中，老師們通常把筆算當作計算的一項技能來訓練，認為它沒有思維含量。新課改以來，隨著“算理比算法更重要”理念的不斷深入，我們開始追求“規定性知識”背后的原因。因此，在計算教學中不僅要讓學生掌握算法，知道怎樣運算，更應使其理解算理，明白為什么這樣算，從而為其后續的學習，為養成良好的數學學習習慣奠定基礎。

一、案例描述

這是一節組內研究課，教學內容是北師大版四年級上冊《買文具》——除數是整十數的除法的計算。教師首先創設了買文具的情境，提出問題：80元錢可以買幾個書包？在用到“每個書包20元”這條數學信息后，孩子們很自然地意識到這是一道用除法解決的問題。接著解決問題：80÷20=？，獨立思考計算后，學生交流匯報如下：

生1：因為4×20=80，所以80÷20= 4。

生2： 80里有4個“20”，所以80÷20= 4。

生3：80元買一個書包剩下60元，80-20=60，60-20=40，40-20=20，所以，可以買4個書包。

生4：80元是8個十元，20元是2個十元，因為8÷2=4，所以80÷20=4。

生5：我是用豎式計算的。（生5上黑板擺豎式）

師生接下來共同探究除法豎式的寫法，并提問：商“4”為什么寫在個位上。生回答：因為80÷20=4，相同數位對齊，“4”就寫在個位上。在得出以上幾種算法后，師生又一起比較、優化計算方法，明確豎式計算最方便、簡單。

二、引發思考

整節課看似行云流水，一氣呵成。但讓人總感覺不真實，孩子們如匆匆過客，觸及的都是除法豎式計算的表面，根本沒有真正理解算理。梳理一下，發現有兩個問題沒弄清楚。

問題一：商“4”為什么寫在個位上？這既是教材的重點又是理解的難點，如果單憑因為商是“4”不是“40”，所以它應該寫在個位上，這樣去理解的話，除法豎式就失去了它本身的意義和作用。商的結果不是通過豎式求得的，這在數學上犯了邏輯上的錯誤，既然你已得到結論，為什么還要列豎式？而且當商是兩位數時，如算式：“568÷40=？”，無法憑借口算知道商是多少，就更談不上去確定商是幾位數了。如果直接告訴學生：看被除數的前兩位，如果它大于除數，商就是兩位數，商應首先寫在十位上;如果它小于除數，商就是一位數，商寫在個位上，此舉只能使之知其然而不知其所以然，也是不可取的。

問題二：生4的回答聽著覺得很繞口，在沒有學習商不變的規律這一知識之前，孩子們是沒法接受這種想法的，慣性思維使他們更容易會這樣思考：因為8÷2=4，所以80÷20=40。生4的答案應該是照搬教材中小朋友的話，不是自己真實的想法。

那么，除法豎式計算該怎樣教學呢？

小學數學中，除法豎式是計算教學的難中之難，主要分為三個階段：一是“表內除法豎式”，首次接觸除法豎式;二是“除數是一位數除法”，真正進入除法豎式理解性學習階段;三是“除數是兩位數的除法”，屬于除法豎式的完善階段。

但縱觀教材，從二年級的表內除法到三年級的商是兩位數的除法，四年級學習的除數是兩位數的除法，一直到五年級小數除法的計算的學習，始終貫穿一條暗線：“平均分”。除法的本質就是“平均分”。因此，我們以“平均分”為核心來理解豎式除法的算理，牢固掌握豎式的計算方法。

雖然都是平均分，但是由于思維水平的限制，各個階段的要求層次有提升，在低年級是借助實物，直觀操作幫助學生理解算理，如三年級時學習的“分桃子”，把56個桃子分給兩只猴，先將5籃子的桃子分給兩只猴（每籃10個），每只猴分到兩籃;還剩一籃子，再將剩下的這一籃和6個桃子合成16個桃子，平均每只猴分到8個，這樣每只猴就分到20+8=28個。其實，5籃桃子表示5個“十”，6個桃子表示6個“一”，兩只猴子分掉4個“十”后，還剩下1個“十”，每只猴分不到1個“十”，就把1個“十”變成10個“一”，與6個“一”合成16個“一”，再分。由于中年級學生的抽象思維能力較差，所以必須借助直觀的教具來理解算理。實際上無論分什么東西，實質都是在分計數單位，不夠分時，我們將較大的計數單位變成較小計數單位。這樣，較小的計數單位上的數字就變大了，如80除以20應理解為8個“十”平均分給20個人，每人分不到1個“十”，將8個“十”看成80個“一”，平均分給20個人，每人分到4個“一”，所以商“4”寫在個位上。后面的小數除法也是同理。如3.24÷6，3個一平均分給6個人，每人分不到1個“一”;將3個“一”和2個“十分之一”合成32個“十分之一”平均分給6個人，每人得5個“十分之一”，還剩2個“十分之一”，又與4個“百分之一”合成24個“百分之一”，平均分給6個人，每人得4個“百分之一”，所以5寫在十分位上，4寫在百分位上。明白這樣的道理，學生不難理解：為什么除數是兩位數，看被除數的前兩位可以確定商的位數;為什么除到哪一位，商就上在哪一位。并由此將豎式求商的方法遷移到除數是三位數，甚至更多位數時的計算，達到教是為了不教的目標，為后續學習做了鋪墊。

在學習圓的相關知識后，練習中經常會出現除數是多位數的計算，學生的正確率很低，究其原因是對算理一知半解，導致了除法豎式的計算方法不能正確遷移。所以，除法豎式計算教學不能機械地為計算而計算，必須由低年級到高年級，訓練學生逐步脫離具體的實物，過渡到以計數單位作為豎式計算的載體，及時將算理提升為策略、方法，并讓他們主動將方法遷移各種除法豎式的計算中，讓學生學會學習，學會思考，掌握算法和算理之間的內在聯系，讓學生對知識的理解不但知其然，更知其所以然，從而使學生創造靈感的火花自由綻放。