歐拉公式的妙用

王晶 郭立豐

摘 要：歐拉公式將三角函數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為復(fù)指數(shù)函數(shù)運(yùn)算，在三角函數(shù)相關(guān)運(yùn)算中利用直觀的代數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題。在微積分運(yùn)算中，將指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積轉(zhuǎn)化為復(fù)變量指數(shù)函數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算。在微分方程運(yùn)算中，將復(fù)值函數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)值函數(shù)，體現(xiàn)復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域的和諧統(tǒng)一。

關(guān)鍵詞：歐拉公式、復(fù)指數(shù)函數(shù)、積分、微分方程

歐拉公式將定義和形式完全不同的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，為研究這兩種函數(shù)的有關(guān)運(yùn)算及性質(zhì)架起了一座橋梁。歐拉公式將實(shí)數(shù)域問(wèn)題擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域討論，構(gòu)造復(fù)指數(shù)函數(shù)巧妙地將問(wèn)題簡(jiǎn)化。下面給出歐拉公式的具體應(yīng)用實(shí)例。

1.三角函數(shù)中的應(yīng)用

歐拉公式在證明三角恒等式、求解三角方程、三角級(jí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算和探求一些復(fù)雜的三角關(guān)系時(shí)，可以避免復(fù)雜的三角變換，利用較直觀的代數(shù)運(yùn)算使問(wèn)題得到解決。

2.高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用

取其實(shí)部可得

3.積分計(jì)算中的應(yīng)用

對(duì)被積函數(shù)中含有三角函數(shù)的積分，利用歐拉公式將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)指數(shù)函數(shù)，降低解題難度。

4.高階常系數(shù)齊次線性微分方程求解中的應(yīng)用

高階常系數(shù)齊次線性微分的特征方程求解中，如果特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根，利用歐拉公式及疊加原理將復(fù)值函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)值函數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.復(fù)變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]歐陽(yáng)光中、朱學(xué)炎等.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]王高雄等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2012.

基金項(xiàng)目：

[1]2018年度黑龍江省高等教育教學(xué)改革一般研究項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)SJGY20180060

[2]黑龍江省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度重點(diǎn)課題，項(xiàng)目編號(hào)GBB1318022