基于壓電陶瓷驅動的六自由度空間光學拼接系統*

孫立寧，陳方鑫，董 為

(哈爾濱工業大學 機器人技術與系統國家重點實驗室· 哈爾濱·150000)

0 引 言

隨著空間科學技術的飛速發展，大口徑空間光學望遠鏡在深空探測和對地觀測中發揮著重要作用。由于制作工藝的限制，直徑為米級的鏡面通常需要數個子鏡拼接而成，而不是通過整體加工方式。每個子鏡都需要在毫米級范圍內實現高精度定位，以便光學系統獲得高質量的圖像。

與地面環境不同，在設計空間定位平臺時，應考慮空間的熱效應和真空環境。為了減小溫控系統的壓力，定位系統所用的驅動模塊應盡可能減少其對溫度的要求。此外，考慮到真空環境下的冷焊效應，應避免機械傳動過程中的摩擦。眾所周知，火箭在發射過程中的振動是不可避免的，這將增大裝配件的裝配誤差。但在空間環境中，無法在工況下對機構進行標定?？偠灾臻g定位平臺的設計應考慮空間適應性(高低溫、真空、摩擦)和控制策略的特殊性(簡單的運動學，即運動對結構參數偏差不敏感)。

在空間應用中，Stewart平臺因其結構簡單、剛度高、技術成熟等獨特優勢，常被用作六自由度定位平臺[1-4]。VISTA[5]是一個直徑為4m的空間測量望遠鏡，它利用Stewart機構在5個軸線上對230kg的子鏡進行位置調節,實現了1μm和0.1rad的精度。LSST中的鏡面是由基于音圈電機驅動的六足并聯機構調整的，它能在3060kg負載下實現20μm的定位精度[6]。VST[7]望遠鏡的主動光學系統也安裝了六足并聯機構，以調整望遠鏡管和光學列陣的不正確的相對位置。根據實驗研究，該機構可實現1μm的分辨率。

雖然Stewart平臺可以用于鏡面拼接，但對于某些特定的應用場景，定位平臺的方案設計需要綜合考慮結構尺寸、系統質量、空間適應性、系統精度、運動學復雜性等因素。因此，作為六足并聯機構的一種替代方案，混合機構引起了研究者的關注。混合機構一般由多個并聯機構串聯而成，其運動學比純并聯機構簡單。Gaunt[8]設計了一個六自由度的定位平臺來校正Altair鏡面的位置，Altair是位于夏威夷的Gemini North望遠鏡。該定位平臺是一種將兩種三自由度并聯機構串聯在一起的混合機構，任何期望的單一運動都可以由對應的執行單元實現。Wang[9]提出了一種用于光纖拼接的六自由度定位平臺，該平臺是由一個三自由度并聯機構和一個三自由度串聯機構組成，其優點包括結構緊湊、運動學簡單、連桿誤差零積累等。Cai[10]將一個三自由度平面定位機構與三自由度空間定位機構進行了串聯，構造出了六自由度的混合機構。文中提出的解耦控制方法很輕松地解決了運動耦合問題。

與傳統鉸鏈相比，柔性鉸鏈具有無返程間隙、無磨損、無摩擦、重復性好的優點，適用于精密工程[11-13]。同樣的原因，它也適用于空間環境。通常情況下，PZT的行程只有自身材料的0.1%。因此，在實現具體應用時，需要配合行程放大機構來使用[14-15]。Kim[16]研制了一種基于壓電材料的三自由度空間定位平臺。該平臺由一個新的緊湊橋式放大器驅動，運動平臺的運動范圍和分辨率分別為190μm和4μm。Chao[17]提出了一種六自由度混聯柔順機構，該機構結合了兩個由杠桿放大機構驅動的并聯機構。實驗表明，機構的最大行程為130μm，分辨率為50nm。Xu[18]設計并分析了一款XY并聯機構。該機構采用兩個壓電執行機構來實現位移輸出。在橋式放大機構的幫助下，其輸出行程大約為120μm。

在前人工作的基礎上，本文設計了一種用于空間光學對準的、由PZT驅動的六軸高精度定位系統。該系統由三個串聯連接的子平臺組成，其中每個子平臺由位移放大器驅動。

1 機械系統設計

圖1為六自由度調整機構的三維實體模型，該機構由三級串聯的子平臺組成。其中，第一級為空間三自由度機構，第二級為完全解耦的XY并聯機構，第三級為冗余驅動的單自由度機構。

(a)機構總覽

(b)平臺爆炸圖

(c)機構主要尺寸圖1 三維實體模型Fig.1 3D solid model

1.1 空間三自由度并聯機構

空間三自由度平臺的設計是為了實現X軸、Y軸旋轉和Z軸平移。眾所周知，位移放大器在放大PZT位移的同時也會減小輸出力。因此，不同于以往包含3個驅動模塊的設計[19]，這里增加了一個冗余驅動模塊，以提高平臺的負載能力?？紤]到對稱性，4個驅動模塊呈90(°)排列，如圖2所示。

(a)

(b)圖2 (a)傳統的三支鏈空間并聯機構； (b)四支鏈空間并聯機構Fig.2 (a)Traditional spatial parallel mechanism with three branches；(b)Space parallel mechanism with four branches

平臺的每個執行模塊均由一個主動線性驅動、被動線性關節、被動虎克鉸關節和位移傳感器組成。為了減少驅動模塊的慣量，主動線性驅動被固定在底座上。被動線性關節起引導作用，可抑制非運動方向的負載力，如圖3所示。此外，為了避免光學遮擋，平臺的包絡線必須被限定在圖1所示的圓環內。因此，雖然各種直線電機和音圈電機能夠提供超高線性位移分辨率及毫米級的運動范圍，但是基于PZT和放大器機構的驅動模塊仍因為體積小、結構靈活而成為了該類平臺驅動器的優選方案。

圖3 空間3-DOF并聯機構及其驅動器Fig.3 Space 3-DOF parallel mechanism and its driver

1.2 XY并聯機構

第二級平臺負責X軸和Y軸的線性運動。一般情況下，XY二維平臺有串聯和并聯兩種設計。串聯模式結構簡單，但其承載能力低，難以支撐下一級平臺和鏡面。因此，這里采用并聯模式。

具體而言，XY并聯平臺有2個垂直排列的驅動模塊，其中每個模塊包含1個線性驅動關節、1個復合平行四邊形關節和1個位移傳感器，如圖4所示。復合平行四邊形關節也叫解耦器，其可被看作是2個垂直布置的導向裝置。因此，2個相互垂直的直線運動可以實現完全解耦。

(a)第二級平臺 (b)驅動模塊 (c)原理圖圖4 第二級平臺驅動單元Fig.4 The second platform driver unit

為了減小驅動模塊運動方向的尺寸，設計了一款緊湊型放大器[20]。與傳統的橋式放大器相比，緊湊型放大器由2個雙面橋式機構組成。陶瓷置于雙面機構之間，盡可能減小運動方向尺寸。此外，2個解耦器也如此對稱布置，以進一步減小運動方向尺寸，如圖5(c)所示。

(a)

(b)

(c)圖5 傳統設計和緊湊型設計的比較Fig.5 Traditional design versus compact design

1.3 第三級機構

Z軸旋轉由第三級平臺實現。第三級平臺由回轉導向裝置、驅動模塊、位移傳感器組成?；剞D導向裝置類似于傳統的平行四邊形機構，其不同之處在于其延長線將相交于一個旋轉點，而平行四邊形機構永不相交，如圖6所示。放大器的輸出端裝有片狀柔性鉸鏈，以避免徑向方向的寄生運動。

(a)第三級平臺 (b)驅動單元

(c)平臺的結構簡圖圖6 第三級平臺結構圖Fig.6 The level 3 platform structure diagram

2 柔性單元的建模

2.1 橋式放大機構

本節將采用柔度矩陣法對橋式放大器進行理論建模。根據彈性梁理論，從坐標系Oi到另一個坐標系Oj的力與位移的關系可以表示為

ei=[Tij]T[Rij]TC[Rij][Tij]Fi

(1)

其中，

[Rij]和[Tij]是轉換矩陣，C是鉸鏈的柔度矩陣。

由于對稱性的原因，可以只分析該機構的一半。簡化模型可以看作是一個一端固定、一端受導向約束的串聯鏈，如圖7所示。根據小變形假設，點在鏈上的位移等于各個力分別作用于鏈上所產生的位移之和。此外，當施加一個力時，位移等于相關柔性鉸鏈變形的總和。因此，輸出點和輸入點的位移可表示為

(2)

(3)

F和ε表示力和位移，其下標表示所關注的點。

圖7 對稱模型的約束和尺寸Fig.7 Constraints and dimensions of symmetric models

根據定義，放大倍數和輸入剛度可用下式進行計算

(4)

(5)

其中，da和kin表示放大器的放大倍數和剛度。

考慮壓電陶瓷的剛度，PZT在放大器中的實際位移為

(6)

其中，lPZT和LPZT分別為PZT的實際位移和名義位移，kPZT為PZT的剛度。根據公式(6)，可得到放大器的實際輸出位移

(7)

此外，還需要分析應力，以預測實際輸出的最大位移。利用鉸鏈的旋轉變形，根據文獻[21]，可計算出圓形柔性鉸鏈應力集中部分的彎曲應力

(8)

β=tbridge/lbridge是文獻[21]定義的一個量綱為1的參數。此外，最大拉應力可表示為

(9)

旋轉變形θ和軸向力Faxial可通過公式(8)和公式(9)獲得。為保證放大器的安全運行，彎曲載荷和軸向載荷的最大應力應小于材料的許用應力，即

(10)

其中，na是安全系數。

2.2 柔性導向器

本文將第一級平臺的被動線性關節、第二級平臺的復合平行四邊形機構和第三級平臺的旋轉導向裝置稱為導向柔性元件。由于這3個柔性元件的基本柔性單元的變形原理相似，如圖8所示，因此可將其放在一起進行討論。

圖8 導向機構Fig.8 The steering mechanism

在以前的文章中，很容易找到柔性平行四邊形的建模方法[22-24]。本文提出了一種基于懸臂梁受力公式的平行四邊形機構設計方法。一端固定一端受導向約束的柔性梁，可被看作是一個自由端受切向力F和力矩M作用的懸臂梁。由于梁與其幾何中心是呈中心對稱的，當梁被對稱中心分離時，梁的對稱中心只被施加一個等效力F′，且該力大小等于F，如圖8所示。由懸臂梁的受力公式，可以計算出其末端位移為

(11)

式(11)中，E為材料的楊氏模量，I=bt3/i2為截面繞中性軸的慣性矩?？紤]到對稱性，導向機構梁單元的位移為

(12)

第一級平臺的導向裝置可以看作是兩個并聯的導向單元，其剛度是單個導向單元的2倍。

(13)

圖8所示的導向機構由4個串聯的導向單元組成，其剛度可計算如下

(14)

復合平行四邊形可分為3個平行四邊形機構，其中一個垂直排列，另兩個水平排列。因此，復合平行四邊形機構水平方向的剛度以及第三級平臺導向裝置的剛度等于平行四邊形機構的剛度，而復合平行四邊形沿垂直方向的剛度是平行四邊形機構剛度的2倍，即有

(15)

根據材料力學和圖8中的參數定義，懸臂梁的應力可表示為

(16)

行程與機構剛度的關系可表示為

(17)

結合公式(16)、公式(17)和公式(13)～(15)，3種導向機構的行程可計算為

(18)

2.3 柔性虎克鉸

柔性虎克鉸精度高、無機械摩擦、無靜態阻力、運動平穩無需潤滑、易維護、分辨率高和可一體化加工等優點使其在精密機械和微機械中得到了廣泛應用。從本質上講，柔性虎克鉸是2個垂直布置的簧片式柔性鉸鏈，如圖9所示。其力位關系可由式(1)獲得。

圖9 虎克鉸Fig.9 The hooke joint

3 參數設計及FEA仿真

根據光學系統的要求，3個線性運動的行程和分辨率要求為1mm和1μm；對于旋轉運動，行程和分辨率分別為600(′)和1(′)。結合圖1(c)所示的幾何參數，很容易得到3個平臺驅動模塊的性能要求。具體而言，第一級平臺需要1.6mm行程和1μm精度；第二級平臺需要1mm行程和1μm精度；第三級平臺所需的行程和分辨率分別為0.85mm和2.1μm。

3.1 放大機構負載特性分析

橋式機構是一種經典的柔性位移放大器。前人在研究中，采用了多種方法對橋式機構進行了分析。然而，以往的研究往往忽略了施加在放大器上的外部負載。對于執行機構而言，在實際工作中不可避免地要承受外部載荷，因此對帶有外部載荷的橋式機構進行分析是非常必要的。

在柔性機構中，執行機構一般需要承受兩種載荷，即彈性荷載和恒定荷載。彈性載荷主要來自于構件的變形，這在柔性機構中是不可避免的。恒定載荷則來自于平臺的重力。分析參數如表1所示，輸入位移與放大倍數的關系如圖10所示。一般情況下，當選擇參數時，放大倍數被認為是一個常數。然而，圖10顯示放大倍數會受到彈性載荷的影響。從圖10(a)可以看出，隨著彈性荷載的增大，放大倍數會減小(曲線的斜率會減小)；而當施加恒定載荷時，曲線斜率不變、截距改變，即放大器的初始位置不同。因此，在放大器的設計過程中，必須考慮實際的負載情況。

表1 放大器參數

對上述線形進行理論解釋。根據小變形假設，當放大器輸入端固定時，輸出端的力-位移呈線性關系即為線性彈簧。假設其彈性系數為k0，不加負載時的放大倍數為da0，當施加恒定載荷時，輸出位移可表示為

δout=da0δin-k0fload

(19)

對于彈性荷載，其表達式為

δout=δinda0-k0(kloadδin)

=(da0-k0kload)δin

(20)

式(19)為線性方程，其截距由荷載決定。式(20)為比例函數，其斜率受荷載彈性系數kload的影響。這2個方程與圖10的結論完全一致。

當考慮兩種荷載時，放大倍數可表示為

=da0-k0kelastic

(21)

式(21)表示實際放大倍數由放大器的結構和彈性荷載共同決定。此外，在設計放大器時，應通過式(21)計算其實際放大倍數。

(a)彈性負載

(b)恒力負載圖10 輸入位移與放大倍數的關系Fig.10 The relationship between input displacement and amplification

3.2 設計參數

由于存在放大極限的現象，柔性橋式放大器的放大倍數很難超過30。考慮到驅動器的負載和制造工藝，實際的最大放大倍數約為20。因此，第一級和第一級平臺的壓電陶瓷行程為160μm，第三級平臺的壓電陶瓷行程為120μm。放大器材料采用鋁7075-T6，其楊氏模量為71GPa，最大屈服強度為500MPa。結合上述公式，可以預測放大器的實際行程為

(22)

雖然設計參數的選擇是一個耗時的過程，但是第3節中建立的模型加速了這一過程。經過多次迭代，放大器和所有導向機構的設計參數如表2所示。

表2 彈性單元的參數

3.3 有限元仿真

本節通過有限元軟件進行仿真分析。需要注意的是，由于在實驗過程中，鏡子是垂直放置的，因此在仿真環境中需打開沿Y軸的引力場。圖11為仿真環境下各自由度的運動情況。假設有限元分析結果足夠準確，以機構行程和應力的數值解為標準，評價設計參數的可行性。FEA的計算結果如表3所示。

(a) X軸位移

(b) Y軸位移

(c) Z軸位移

(d) 繞X轉動

(e) 繞Y轉動

(f) 繞Z轉動圖11 六維運動仿真Fig.11 Six-dimensional motion simulation

自由度有限元仿真數值分析行程應力/MPa放大倍數解耦率/%放大倍數誤差/%θx1336(″)16918.026.24θy1339(″)17018.005.02Z3.06mm16419.120.6719.618.18.22.5X2.22mm17913.930.52Y2.24mm18213.910.5014.534.14.2θz1064(″)15210.75—11.032.5

有限元結果和數值計算結果之間的最大偏差約為8%，出現在對θx和θy的計算中。誤差主要是由于忽略了虎克鉸的柔度而造成的。此外，數學模型中使用的柔性鉸鏈柔度矩陣也會引入誤差?？梢钥闯?，第3節建立的模型對設計參數的預測是足夠準確的。每個自由度的設計行程都覆蓋到了所要求的范圍，確保了足夠的余量。運動過程中的最大應力遠小于材料的屈服應力。值得注意的是，XY軸的旋轉耦合分別為6.24%和5.02%，約為其他自由度運動的10倍。在仿真中，左邊2個放大器的輸入位移為0.16mm，右邊2個放大器的輸入位移為0(即輸入端的相對位置受限)。根據理論，這種情況下放大器的輸出理應為0，但在實際過程中檢測到的放大器輸出端位移為0.179mm，如圖12所示。出現這種情況是由于雖然放大器的輸入端是固定的，但是當輸出端產生反作用力時，驅動單元中的柔性鉸鏈仍會發生變形。在施加外力的情況下，彈性元件不可避免地會發生彈性變形?？紤]到這一點，有必要在驅動模塊的輸出端放置位移傳感器，通過閉環控制消除變形現象。

圖12 輸入耦合Fig.12 The input coupling

3.4 動力學性能

在這一節中，采用有限元法對系統的動態性能進行分析。圖13為定位平臺的前6階振動模態，其中第一階固有頻率為19.45Hz。光學系統只需要完成點對點運動，即定位系統是在準靜態條件下工作的。因此，該頻率滿足使用要求。

(a) 一階模態

(b) 二階模態

(c) 三階模態

(d) 四階模態

(e) 五階模態

(f) 六階模態圖13 定位機構的模態分析Fig.13 The modal analysis of positioning mechanism

4 實驗研究

為了進一步驗證設計的可行性，制作并組裝了如圖14所示的定位系統樣機。樣機中所有的柔性元件均采用7075-T6鋁合金材料制造。與其他合金材料相比，鋁合金材料具有較低的密度和楊氏模量。柔性元件采用線切割-電火花加工工藝制造?？紤]到上節中分析的輸入耦合現象，將線性位移傳感器(DONG-DO，測量范圍和分辨率分別為2mm和2μm)安裝在驅動模塊末端，實現閉環控制。下位機與功率放大器、數據采集卡、信號發生器和PID控制器相結合，對各執行模塊進行閉環控制。上位機在Labview環境下實現編寫，用于各平臺的運動學計算。圖14(d)為軟件操作界面，每個自由度的運動均可被單獨控制，平臺位置可實時顯示。

當第一級被控制時，控制量由逆運動學可得

(23)

對于第二級平臺，由于兩個自由度的運動完全解耦，因此平臺運動直接等于相關的驅動模塊輸出量

(24)

第三級平臺只控制一個自由度的運動

(25)

可以看出，與其他六自由度定位平臺相比，該系統的運動學非常簡單，這也是該系統的主要優點，如圖15所示。

圖14 (a)實驗平臺；(b)工業相機圖；(c)電容位移傳感器控制界面；(d)上位機軟件Fig.14 (a)The experiment platform；(b)the industrial camera diagram；(c)Capacitive displacement sensor control interface；(d)Host software

圖15 定位機構控制策略Fig.15 The positioning mechanism control strategy

4.1 工作空間測試

定位平臺的工作空間是由CCD相機(DAHENG成像像素大小5.6μm×5.6μm)測量的。在相機的視場內粘貼一個刻度作為標準距離參照，這樣便不需要再對相機進行標定了。假設粘貼在移動平臺上的刻度是準確的，則可以通過移動前后的兩張照片上的同一標記點來評估平臺的位移，如圖14(b)所示。具體而言，在平臺移動前，拍一張照片。在平臺沿著運動方向移動到極限位置后，再拍一張照片。將兩張照片上標記點的距離與照片上的刻度進行比較，計算出平臺的實際位移。在旋轉運動方面，利用兩臺CCD相機對直徑兩端的位移進行測試，然后用三角函數將線性位移轉化為角位移。

為了研究“輸入耦合”對運動的影響，實驗采用了兩種控制模式。第一種模式采用了集成在PZT中的應變片測量PZT的輸出位移，PZT在此模式下輸出期望位移(局部閉環)。第二種模式在驅動模塊的末端放置了一個位移傳感器，驅動模塊能夠在此模式下輸出期望位移(全局閉環)。與第一種模式相比，第二種模式可以消除“輸入耦合”現象。為了定量描述運動的耦合，定義耦合率為最大非期望位移除以每個自由度運動的期望行程。表4列出了工作空間實驗的結果，其中要求距離是光學系統所需的行程?？梢钥闯?，在第二種控制模式下，LVDT傳感器的行程限制了運動范圍(運動行程等于位移傳感器的測量范圍)?？紤]到安全性，在第一種控制模式下，每個自由度的運動都被驅動到相同的范圍。需要注意的是，其實際最大行程均大于表4所列的值。在第二種控制模式下，耦合運動明顯受到限制。特別是當X和Y旋轉時，解耦率近似等于其他自由度的解耦率。

4.2 位置分辨率測試

定位平臺的分辨率是定位平臺最重要的指標。眾所周知，遲滯效應是壓電材料的一個固有問題。目前，有3種常用方法可以對其進行補償，即基于遲滯模型的前饋控制、基于位置反饋的閉環控制，以及前饋反饋控制相結合的混合控制。該系統采用基于PID控制策略的反饋控制對遲滯進行抑制。由于定位平臺的中心位置被鏡面占據，位移傳感器的測頭沿Z軸接近運動平臺的頂面。在閉環控制下，定位系統輸入階梯驅動信號。定位平臺能夠輸出的最小步長被認為是分辨率。圖16給出了每個自由度運動的對應輸出。

(a) X 軸位移

(b) Y 軸位移

(c) Z 軸位移

(d) X 軸轉動

(e) Y 軸轉動

(f) Z 軸轉動圖16 各個自由度的分辨率Fig.16 Resolution of each degree of freedom

表4列出了分辨率的實驗結果。可以觀察到X軸、Y軸的最佳分辨率是0.5μm，Z軸是1μm，旋轉運動的分辨率可由三角函數計算而得。

表4 分辨率實驗結果

5 結 論

本文提出了一種串并混聯的、由壓電陶瓷(PZT)驅動的六軸高精度定位系統。采用橋式放大器對PZT行程進行放大，利用柔性鉸鏈消除運動過程中的摩擦和間隙，同時實現了大行程和高分辨率。分析了放大器在兩種外部負載下的性能，并根據實際應用情況對放大器進行了設計。此外，還發現在執行機構的輸出端必須使用位移傳感器，以消除柔性機構中常見的輸入耦合現象。設計的可行性通過了有限元分析和實驗研究驗證。