復數相等的定義在證題中的運用分析

范文捷

摘要：作為高中數學中的主要構成，復數部分問題的解答難度較高，這類問題也是我們在日常數學學習及考試中的主要耗時點。基于此，本研究以復數相等這一定義為中心，細化闡述其在復數運算類問題、解析幾何類問題等不同證題中的應用方法與技巧，以期為高中數學的復數問題解答提供參照。

關鍵詞：復數相等;復數證題;解析幾何

前言：

復數方程是我們高中階段數學學習中的重難點之一。在解答這類題目的過程中，常常會遇到難以確定解題思路、解題錯誤率高等狀況。事實上，復數相等的定義作為高中數學教材中復數部分的主要概念，其可為復數相關問題的解答提供依據。因此，分析復數相等的定義在高中數學證題中的應用具有一定的現實意義。

一、復數相等定義在復數運算類問題中的應用

復數運算無疑是高中數學教材中復數部分的經典問題之一[1]。結合既往解題經驗可知，這類問題的運算通常較為復雜，一旦出現疏忽，很容易導致最終結果的錯誤。在復數運算解題中，對于適宜引入復數相等概念的問題，我們可以直接代入這一定義，以降低這類問題的解答難度。

例如，復數

等于（ ）

A.-i B.i C.

-i D.

+i

在解答這一復數運算問題時，如按照常規方法進行作答，即直接運用題目中的復數式進行計算，則需要花費較長時間。對于這類問題，可借助復數相等的定義進行解答。采用設方程形式，將復數式調整為：z=

=x+yi。在上述方程基礎上進行轉化，可得：（

-i）（x+yi）=1+

，進一步分解可得：（

x+y）+（-x+

y）=1+

i。此時，運用復數相等的定義，將上述已知信息轉化為如下兩條信息：

x+y=1以及

y-x=

。在此基礎上求解，可確定x與y的值分別為0、1，由此可認為：題目中復數（z）的值為i，正確答案為B。

二、復數相等定義在解析幾何類問題中的應用

復數相等這一定義的活用，可為不同類型題目的解答提供支持[2]。除了復數的運算問題，在日常數學學習中，我們還可于解答某些解析幾何題目時，合理運用這一定義。

例如，已知圓的方程a2-20=x2+y2-8x-4y，（a>0）。在這一方程中，已知三點，其中，O為圓點，P為該圓上的一個動點，另一點A則為定點，其坐標為（4，2-a）。該圓上另有一動點Q，其運動規律為：

=3

+2

，求解該點的軌跡方程。

根據上述已知條件，可將該圓的方程轉化為：a2=（x-4）2 +（y-2）2。在此基礎上，將其轉化成參數方程形式為：x=4+ acosθ、y=2+asinθ。根據動點Q的運動規律要求，將3

轉化為12+（6-3a）i，并將2

轉化為：i（4+2sinθ）+（8+2acosθ）。將動點Q運動規律中的另一已知條件

設為x+yi。此時，運用復數相等等以，將上述已知信息轉化為：x=20+2acosθ，y=2asinθ+10-3a。從上述信息中消掉θ，即可獲得動點Q的軌跡方程，為：4a2=（x-20）2+（y-10+3a）2。

從上述解題流程來看，復數相等定義的運用，有效簡化了動點Q軌跡方程的確定難度。由此可認為，復數相等定義的活用，可為我們的數學證題解答提供諸多幫助。

三、復數相等定義在方程求值類問題中的應用

復數相等定義的應用范圍較廣。在實踐解題中，我們可以嘗試在方程求值類問題中，合理代入這一定義，以縮短方程求值解題所需時間。

例如，已知方程x2-2（1+i）x+

ab-（a-b）i=0（a，b∈R），該方程總有一個實數根，求解這一實數根的取值范圍。

在解答這一證題的過程中，為了明確該方程的實數根，我們可先將這一實數根設為m，且將該實數根的取值范圍設定為R。將這一實數根代入方程中，可得：m2-2（1+i）m+

ab-（a-b）i=0，在此基礎上進行分解可得：m2-2m+

ab+i（b-2m-a）=0。此時，運用復數相等定義，將上述方程轉化為如下兩個部分：a+2m-b=0以及m2-2m+

ab=0。同時從上述兩部分中將實數根m消掉，可得：（a+2）2+（b-2）2=8。在此基礎上，分別將該方程中的a+2及b-3設為2

cosθ、2

sinθ。求解實數根m可得：m=

=2+

（sinθ-cosθ）=2+2sin（θ-

）。根據函數的屬性，可確定|sin（θ-

）|

≤1，因此，可確定實數根的取值范圍為0≤m≤4。

方程求值類問題的形式較多。除了上述題目外，復數相等定義還可在如下問題中得到良好的應用。

例如，已知m≥0，方程n|n|+mn+i=0。求解方程中的復數n的值。

在分析這一問題中的已知條件時，可發現：如按照當前的已知條件形式，難以獲取其他信息。因此，我們在解題時，首先應考慮已知條件中的內容是否可轉化成其他形式。本題目中的方程n|n|+mn+i=0可轉化為：n（|n|+m）+i=0。根據這一轉化結果，可初步判斷本題目所求復數n的值不為零。代入題目中的已知條件，m≥0，可確定如下關系：m+|n|>0，此時，可獲得如下結論：n=-

。將復數相等定義代入上述已知信息中，令復數n=ki，分別從大于0、小于0兩方面分析k值。如k>0，與前文所述已知信息相互矛盾，可判斷這一取值范圍不正確。因此，可設k<0，可得k值為：k（m-k）=-1，進一步轉化，可得k=

。根據上述結果，可確定本證題中所求復數n的值為

i（m≥0）。

在解答上述問題時，如按照傳統思路進行解答，即另復數n=x+yi（x，y∈R），在這一解題思路下，x、y這兩個值的解答過程較為復雜，且其中的y>0屬于增解。在分別確定上述兩個數值的過程中，我們不僅需要花費大量的時間，還可能因解題步驟繁瑣而出現錯誤。相比之下，在解題過程中引入復數相等的定義后，復數n的解答思路變得更加明確、具體，由復數相等關系所得到的已知信息較為簡潔，整個解題過程的步驟較少，耗時較短。由此可認為，在證題中，合理運用復數相等這一定義具有一定的必要性。

結論：

綜上所述，于復數部分證題中合理運用復數相等的定義，可降低復數證題的解答難度。因此，在后續學習中，我們應在深刻領悟復數相等這一定義的特征的基礎上，根據復數問題的已知信息及解答要求等，適時采用復數相等定義進行分析，快速確定解題思路，以保障問題解答的正確率。此外，我們還可以從復數相等定義的證題應用經驗中總結技巧，不斷提升復數相關證題的解題能力。

參考文獻：

[1]冶慧玲.實數條件是求解復數方程問題的關鍵[J].中學數學教學參考，2018 （18）：41-42.

[2]吳天文.美國高中復數教學研究[D].廣州大學，2017.