均值不等式及其推廣的應用

漆杰熙

摘要：本文從經典的平均值不等式出發，首先介紹了多元均值不等式的內容，并給出了它的一個應用;其次將多元平均值不等式進行了推廣，借助矩陣知識給出了平均值不等式的更一般的形式，并且指出了該形式下的平均值不等式和其他一些經典不等式的關系。

關鍵詞：均值不等式;矩陣;柯西不等式;冪平均不等式

數理科學方方面面都有不等式的影子，不等式的種類也是非常廣泛。例如平均值不等式、解析不等式、概率不等式、函數不等式、變分不等式、幾何不等式、微分不等式、積分不等式等。數學不等式分為純粹的數學不等式和應用不等式。純粹的數學不等式包括常見的平均值不等式、柯西不等式等;應用不等式的例子像概率不等式、線性規劃等。在管理學和工程學中往往需要求問題最優解，但不少時候是得不到解析解的，往往不等式就是解的代替。有關統計結果顯示，在Linear Algebra and its Applications 雜志上發表的論文中，有至少百分之三十的論文與不等式有關系。因此對于不等式的研究就顯得非常重要。本文主要探討平均值不等式及其推廣的應用，并將一些常見的不等式有機的結合。

一、均值不等式及其應用

在不等式理論中有一個很經典的均值不等式，其大意為，若

有

上述等號成立當且僅當

均值不等式的應用是非常廣泛的，尤其在其他較難不等式的證明，以及函數單調性證明中有著非常巧妙的運用。下文的例子給出了關于該不等式的一個應用。

證明數列

是單調遞增的。

證明：由均值不等式可以得到，

其實例題1.1可以利用構造函數的辦法，借助導數工具給出解答，只不過該辦法比較繁瑣，而上述均值不等式的方法相對簡潔很多。

二、均值不等式推廣

對于第一小節均值不等式我們可以利用矩陣的觀點給出一個更一般的結論，該結論由引理2.1給出。

引理2.1對于一個的矩陣[aij]mn，即

并假設，

則

首先我們給出引理2.1的證明，記

如果

使得

=0，那么必定有

因此必定有

此時引理2.1成立。

如果

利用均值不等式有下式成立

對上述m個不等式相加可以得到

相加后的不等式的左邊為，

相加后的不等式的右邊為，

因此我們有，

即可以得到，

引理得證。

接下來給出該矩陣不等式的幾個應用。

例2.1 設

，求證

證明：構造矩陣如下

由引理2.1可以得到，

整理即可得到，

例2.2 設

求證

證明：構造矩陣如下

由引理2.1可以得到，

整理可以得到，

例2.3證明柯西不等式成立，即

證明：構造矩陣如下

由引理2.1可以得到，

上述不等式平方，即可得到柯西不等式。

柯西不等式是非常經典的不等式之一，柯西不等式的證明方法也是非常多的，本文從推廣的均值不等式給出了一種證明方法。

例2.4證明數列

是單調遞增的，其中n為大于等于2的固定整數，

證明：構造矩陣如下

由引理2.1可以得到，

化簡可以得到，

即

例2.4其實是經典的冪平均不等式的特殊情形，比如當取k=1和k=2時，我們可以得到算術平均值和平方和平均值的不等式關系。

三、小結

平均值不等式的形式多種多樣，比如本文給出的矩陣形式的平均值不等式就是一種更一般的平均值不等式。其實不同形式的平均值不等式有著緊密的聯系，比如我們可以利用矩陣形式的平均值不等式輕松得到冪平均不等式和經典的柯西不等式。

參考文獻：

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