體驗數學文化 實現教學目標

洪建龍

[摘? ?要]以“三角形的內角和”的教學為例，先引導學生回顧泰勒斯的基本拼圖方法、挑戰泰勒斯拼圖方法，在此基礎上提高難度，引導學生繼續挑戰，從而讓學生自主探索與發現，多角度和多樣化地解決問題，實現知識的自我建構，掌握科學研究的方法，形成實事求是的科學探究精神，同時感受數學文化的魅力.

[關鍵詞]數學文化;教學目標;三角形的內角和

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）20-0022-02

“三角形的內角和”是人教版教材八年級上冊第十一單元的內容，屬于“空間與圖形”的范疇，是在學生已經掌握了三角形的穩定性和三角形的三邊關系相關知識后對三角形的進一步研究，主要驗證“三角形的內角和等于180°.教材中安排學生對不同形狀、大小的三角形進行度量，再讓學生運用拼、折、剪等方法及通過觀察、猜想、實驗、驗證等數學活動，探索發現三角形的又一特性——三角形的內角和等于 180°.學生在探索過程中體驗了發現的樂趣，發展了推理能力，感受到了數學文化的魅力，增強了學好數學的信心;學生在動手獲取知識的過程中，培養了創新意識、探索精神和實踐能力.采用探究式教學，可讓學生在開放的學習過程中，自主進行探索與發現，多角度和多樣化地解決問題，從而實現知識的自我建構，掌握科學研究的方法，形成實事求是的科學探究精神.

一、 回顧泰勒斯的基本拼圖方法，了解定理起源

回顧泰勒斯最基本的拼圖方法，了解發現三角形內角和定理的起源.

方法1：準備六個全等的三角形，利用它們動手拼圖，討論交流，得出拼圖結果.如圖1所示，三角形的內角的頂點重合，并且頂角不重疊地拼在一塊，拼成一個周角（360°），三角形的每個頂角各出現兩次.則：

教師：大家很厲害！重新發現了古希臘數學家泰勒斯曾用過的方法.當年，泰勒斯就如大家一樣，用六個全等的三角形拼圖，拼成了一個周角，從而發現了三角形的內角和為180°.大家還原泰勒斯的三角形拼圖方法.真是英雄所見略同.真的了不起！

二、 挑戰泰勒斯拼圖方法，掌握定理

針對泰勒斯用六個全等的三角形拼圖發現三角形內角和定理，教師向學生提出任務：挑戰泰勒斯拼圖方法.

教師：為了解釋三角形的內角和為180°，泰勒斯用上六個全等的三角形，實在是太多了，如果用三個同樣的三角形拼圖，大家能完成嗎？

全體學生積極響應，大家使出渾身解數，苦苦思索，嘗試拼圖.忽然，有學生發現，圖1（a）去掉上面一半，剩下部分表明三個同樣的三角形照樣能拼得三個內角的和為180° .于是學生嘗試應用三個全等的三角形進行拼圖，如圖2、3、4、5，得出精彩的結果.教師一一展示學生的拼圖作品.

如圖2、3、4、5，三角形的內角頂點重合，并且頂角不重疊地拼在一塊，拼成的圖形中，三角形的每個頂角各出現一次，剛好擺成一平角（180°），所以 ∠A+∠B+∠C=180°.

教師：數學家泰勒斯曾用六個全等的三角形去拼圖，而你們只用三個全等的三角形拼圖就能說明三角形內角和定理，真是青出于藍而勝于藍！

教師要求學生繼續觀察圖2、3、4、5，思考圖3、4、5中有什么相等.

學生通過討論得出：圖形中有角相等，并且還是內錯角，由此得到平行線.圖3、4、5提示：過點A作輔助線DE平行BC，利用內錯角相等，從而把角B、C移到上面而構成一個平角，不難得到三角形的內角和定理.

教師：利用三個全等的三角形把三個內角拼成一平角，實現拼圖解讀三角形內角和為180°.我們找到的這種拼圖法，也非常簡潔，它最早由古希臘數學家泰勒斯發現.

點評：利用三個全等的三角形去拼圖已經給學生機會去進行數學創新，體驗創新;并且還進一步讓學生去發現證明三角形內角和定理的輔助線方法，同時，也給學生作輔助線提供了一個基石，開闊了學生的眼界，豐富了三角形內角和的內涵.

三、提高難度，繼續挑戰

泰勒斯用三個全等的三角形進行拼圖去解釋三角形內角和定理，其實數學家帕斯卡少年時只用一個三角形就說明了三角形內角和定理.教師利用這個案例激發學生思考的熱情，培養學生的數學思維，加深學生對三角形內角和定理的理解和掌握.

教師：泰勒斯用六個或三個全等的三角形拼圖，你們能只用一個三角形說明三角形的內角和為180°嗎？

教師的提議立即得到學生的響應，學生紛紛思考、討論起來，有的學生說沒辦法拼圖，有的學生看到別的同學將三角形紙片折來折去，于是得到啟發：既然無法拼圖，那就進行折紙.于是，就有了如下創新：

方法1：如圖6的三角形，把上面的角沿虛線橫折，使它的點落到底邊上，再將剩下的兩個角橫折過來，使三個角正好拼在一起，這樣三個角就組成了一個平角，所以可得出結論：三角形的內角和是 180°.

方法2：如圖7，作三角形三個內角的角平分線，交于一點O，將三角形的三個頂點對準交點O折疊，折過來得到三個角A、B、C，還有三個空白部分，正是三個角∠A、∠B、∠C的對頂角，大小正好等于∠A、∠B、∠C，則有2∠A、2∠B、2∠C剛好圍成一個周角，即2∠A+2∠B+2∠C=360°，于是? ∠A+∠B+∠C=180°.

教師：大家的方法非常新穎.不過，這兩種方法，帕斯卡在12歲時早已發現.他的父親得知他利用對稱巧妙進行拼圖，獨立地獲得三角形內角和定理時，激動不已，當即解除對他數學學習的禁令，讓他可以閱讀任何數學書籍.自然，后來帕斯卡成為法國著名的數學家、物理學家、哲學家.盡管你們是重新發現帕斯卡的方法，但你們也算創造性地運用了這一方法，獨立地發現了三角形內角和定理，非常了不起！

教師：還有別的辦法嗎？

學生又給出了方法3.

方法3：取△ABC兩邊AB、AC的中點D、E，如圖8，過中點D、E作第三邊的垂線，并沿垂線剪下，得兩個三角形，把這兩個三角形依圖形補上，得一正方形（如圖9）.三角形的三個內角剛好拼成一平角.于是? ∠A+∠B+∠C=180°，說明三角形的內角和等于180°.

點評：剪三角形將三個內角拼成一平角，方法仍然巧妙，開闊了學生的視野.由三個全等的三角形拼圖到只用一個三角形，同樣能說明三角形內角和定理，是一個大挑戰，但學生仍然創造性地解決了問題，這對于培養學生“直觀想象”核心素養、發展學生創新思維具有極高的價值.

四、 挑戰帕斯卡，不拼也不折

由六個全等的三角形、三個全等的三角形拼圖，再到只有一個三角形在拼、折中發現、解釋三角形內角和定理，難度越來越大，但問題解決得越來越精彩.教師提出問題：若不折、不拼還能發現、解釋三角形內角和定理嗎？比如，旋轉一支筆，能發現三角形內角和定理嗎？ 許多學生感到很疑惑，用一支筆如何能說明三角形內角和為180°？他們用筆比畫著，絞盡腦汁，師生共同關注，一起交流，最終比畫出三角形內角和定理.

方法：如圖10，學生將BC上的筆的筆尖指向點C，繞B點沿逆時針方向旋轉角度B，與BA方向一致，筆平移到筆端與點A重合，繞BA上的筆尖點A逆時針方向旋轉角度A，與AC重合，筆平移到筆端與點C重合，繞此點C逆時針方向旋轉角度C，筆尖指向點B，與CB重合，與剛開始的筆尖指向點C比較，筆已轉過180°，恰好是三角形三內角的和，這樣說明了三角形內角和定理.

教師：同學們做出了德國數學家提波特的精彩作法.1809年，德國數學家提波特利用旋轉的方法證明了三角形內角和定理.如圖10，將AB所在的直線[xy]繞A沿逆時針方向旋轉角度A，到AC所在直線[x′y′]，將[x′y′]繞點C沿逆時針方向旋轉角度C，到BC所在直線[x″y″]，最后[x″y″]繞B沿逆時針方向旋轉角度B，到AB所在直線[x?y?]，從[xy]到[x?y?]，總共轉過180°.

點評：三角形內角和定理的發現、解釋，方法巧妙，精彩紛呈，只要指點得當，學生就能得出同數學家一樣的創造性發現.回憶數學家精彩的發現、巧妙的思想、經典的定理，讓師生體驗數學的巧妙，深刻地理解知識，感受數學文化的魅力.

新課標注重學生三維目標的培養，在這里，要求學生用自己的方法進行驗證，把知識的學習和情感態度與價值觀的培養融為一體，無疑有效地培養了學生的科學態度.拼圖探究是課程改革所倡導的一種學習方式，利于學生的創新意識和實踐能力的培養，把學習的時空還給學生，讓學生通過量、折、拼、剪、擺等操作活動理解和掌握三角形內角和定理，同時有效培養學生的發散性思維.

（特約編輯? ? 安? ?平）