從子列的視角來判定等差（比）數列

陳小紅

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等差（比）數列的所有奇數項按照原來的順序構成等差（比）數列，所有偶數項按照原來的順序也構成等差（比）數列.反過來，如果一個數列的所有奇數項按照原來的順序構成等差（比）數列，所有偶數項按照原來的順序也構成等差（比）數列，原來的數列未必是等差（比）數列.例如，有窮數列1，2，2，4，3，6，4，8的奇數項和偶數項分別按照原來的順序都構成等差數列，但這個數列本身不是等差數列.若一個數列的前有限項，及某些子列滿足一定的條件，這個數列有可能是等差（比）數列.經過探究，有以下兩個結論.

結論1.設k為給定的不小于2的正整數，若數列{a_n）的前k項構成公差為d的等差數列，且子列{a_kn-s）（其中s=0，1，2，…，k-l）都是公差為kd的等差數列，則{a_n）;是等差數列.

結論2.設k為給定的不小于2的正整數，若數列{a_n）的前k項構成公比為q的等比數列，且子列{a_kn-s）（其中s=0，1，2，…，k-l）都是公比為q^k的等比數列，則{a_n）

是等比數列.

結論1的證明：因為{a_kn-s）（其中s=0，1，2.…，k- 1）是公差為kd的等差數列，

點評 類似于例1，本題解答中也有兩個關鍵步驟.其一，利用賦值得到相關的方程組來證明3個公差相等，賦值時可使兩等式中對應項的下標相差3，兩等式作差后的等式中僅有字母d1，d2，d3;其二，是尋找al，a2，a3的關系，也是通過賦值得到方程組并解方程組得到，在方程組中視al與d為已知，視a2與a3為未知.

前面所舉的兩例難度比較大，給出的解法的共性是明顯的，即從它們的子列的通項人手進行深入分析，合理地研究某些項在不同的數列中的關系或者恰當地賦值得出方程組進而得出子列的公差（比）相等，得出子列的通項公式，最后給出原數列的通項公式，再判斷數列為等差（比）數列.當然，對于例2還有其他的解法，本文僅僅是提供了一種解決這類問題的視角以分享.