說說高考對數學基礎的考查

徐舟

高考的主要目的是為高校選拔合格的新生，因此必須測試考生必備的數學基礎，知識的積累和技能的掌握是最重要的學習目標，是解決一切問題的基礎.高考的目的和性質決定了它不僅要對考生的學科知識和具體技能進行考核，而且要對知識的內在聯系、學科的基本規律及方法的理解程度和應用程度進行考查.

因此高三數學復習不僅要重視解題訓練，而且要通過課本閱讀、解題反思等方法，進一步鞏固基礎，根深才能葉茂.

生甲：一個直角三角形三內角的正弦值成等比數列，則其最小內角的正弦值為 _____________.

師：講得好！此題以直角三角形為背景，考查的基礎知識有正弦函數的性質、同角三角函數的關系和等比數列的概念等，是在知識的交匯處設計命題的.三角形中三角函數的本質是刻畫三角形中邊與角之間的內在聯系，充滿著邊與角、邊與邊、角與角互相制約及互相轉化的辯證關系.因此，在平時的復習中，不能只局限于課本例題或習題，如單純地求值、化簡、證明和解方程、不等式等，必須總結和體會三角函數的意義、相互關系，理解三角函數在知識內容及解題方法上的綜合性.

師：正確！復雜函數大多是由簡單函數通過四則運算或復合過程所得的，因此解決本題必須熟練掌握對數函數、一次函數的基本概念和單調性.當然，由簡而繁地處理復雜函數，還需要有一定的邏輯推理能力和數量計算技能.可見高考數學試題對基礎知識的考查重在理解、掌握和靈活運用，也即與對能力的考查緊密結合在一起，而不是在識記和套用的層次上，

我拿到此題后，就是逐一計算，發現計算量比較大，

師：本題主要考查觀察、計算、探索、發現規律的能力.題目要求計算6個函數值的和，若逐個計算然后相加，則計算量比較大，也容易出錯.因此應當細加觀察，發現特點，總結規律，以便作出快速、準確的推斷.要求的和式中，函數的自變量可分為三組，每組之和均為1，你們想到什么了？課本上有類似的問題嗎？

師：由此可以注意到，高考對基礎知識的考查是多角度、多層次的，涉及對課本知識和方法（如等差數列的配對求和）的深刻理解和靈活運用，從而也就形成對能力的考查.尤其要注意推理和計算的密切結合，本題就是先推理后計算，利用推理簡化計算，所以你們在解題時，應力戒呆板、守舊和一味死算，要重視運用基本方法和算理，合理簡化運算，

師：在ab=a +b+8（a>0，b>0）這個條件下，求ab的取值范圍，既可以轉化為解不等式（如生乙），也可以轉化為求函數的值域（如生甲、生丙、生丁）.此題在考查不等式的基礎知識的同時，也突出了對基本數學思想方法（如消元、換元、基本不等式的運用等）的考查，你們的求解策略都很好，不僅基礎知識掌握得較好，而且能靈活運用數學思想方法.

對這道題我真的有“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的感覺.

師：你們在平時的解題中，不要被形式所嚇倒，要學會透過現象看本質，本題就是一個很好的例子，本題主要考查一元二次不等式的求解以及字母式子的變形、運算能力.所給的不等式中含字母參數a和b，起了一定的干擾作用，突出了對算理、算法的考查.解題的關鍵是進行正確的同解變形.其程序為：先移項，使不等式的一端變為0;再將另一端的代數式展開整理，整理時，既可以按z的冪次整理同類項，也可以按a和b整理同類項，但切忌盲目或隨意變形，這些都是運算的基本方法和技能，

師：這題主要考查等比數列的概念、通項公式等基本知識，以及待定系數法、方程思想等基本方法，你們三位同學的思路都很好，只是生丁的求解過程欠妥，這樣推理不嚴謹，按照高考評分標準，是要扣分的.原因是課本中沒有這樣的結論，所以一定要回到最基本的原理或概念中去，

最后我們總結一下，高考對數學基礎的考查可以歸納為以下幾個方面：

1.基礎知識，即新課標高中數學課程所涉及的概念、性質、法則、公式、公理、定理等.因為數學是有嚴密邏輯體系的知識系統，各部分內容有機聯系組成一個整體結構，所以基礎知識還應該包括各個部分內容之間的聯系與關系.

2.基本技能，包括按照一定的程序與步驟進行畫圖、運算、推理的技能.

3.基本思想方法，考查數學思想方法是高考中的一項基本要求，同時也是由數學學科的特點所決定的.高考中考查的數學方法主要有代人法、配方法、待定系數法、換元法、分析法（后一步是前一步的充分條件，推理形式為“要證……就要證……”）、綜合法（后一步是前一步的必要條件，推理形式為“因為……所以……”）、反證法、歸納法、窮舉法等，數學思想主要有數形結合、分類討論、等價轉化、函數與方程，還有容易被忽略，其實極其重要的公理化思想（根據定義、公理、定理、公式、法則等推理）、算法思想（尋求通用的、按一定程序執行的解法）等，這些都是基本的數學思想和方法，在解決數學問題時發揮著重要的作用.