高考題怎么改編（八）

蘇玖

一、真題展現

（2018年全國三卷第6題）在平面直角坐標系xOy中，直線z+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓（x-2）²+y²—2上，則△APB面積的取值范圍是（? ）

A.[2，6]

B.[4，8]

C.[√2，3√2]

D.[2√2，3√2]

二、思維延伸

本題實質是考查點到直線的距離公式及圓的方程運用，給出三種不同的思路，其中幾何直觀法與動態觀點，較簡潔明了.如果改為點P在橢圓上運動，又會有什么樣的結果呢？

如果把橢圓的方程換為拋物線的方程，又可以改編為：

（改編2）在平面直角坐標系zOy中，已知直線x-y+2=0分別與x軸，y軸交于點A，B，動點P在拋物線y²=x上運動，則△PAB的面積的取值范圍為 _________.

如果再改變曲線形狀可以改編為：

（改編3）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：3x +4y+12 =0分別與x軸，y軸交于點A，B，動點P在曲線2 |x-2|+|y-1|=2所圍成的平面區域Q（包含邊界）上運動，則△PAB的面積的取值范圍為__________________.

上述三道改編題都是直線與兩坐標軸交點間的線段作為三角形的底邊，如果將與兩坐標軸的交點改為與圓，點P所在曲線再改變，又可以得到：

（改編4）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：2x-y+4=0與圓（x+1）²+y²=4交于點A，B，動點P在曲線y= Inz上運動，則△PAB的面積的取值范圍為 ___.

本題中點P的坐標可以用一個量表示，從而建立了關于縱坐標的二次函數，再利用配方法求出最小值，但無最大值，這是因為圓和橢圓都是封閉圖形，而拋物線與雙曲線都是開放型圖形，本題y的取值范圍是一切實數.

本題中的點P的坐標的制約條件是不等式，因此建立函數比較困難.我們從圖形結構上考慮，利用平行線移動法使問題更加簡潔，這種解法依據兩條平行線間距離公式，實質還是點到直線距離公式的應用，明了d1+d2的最大值為2r.

本題思路一是函數思想與參數方法，利用三角函數的有界性，很快求出d1，d2的最大值;思路二從幾何直觀出發，利用數形結合思想證明了d1+d2的最大值為2r，即為圓的直徑.

改編7解析：本題如果建立目標函數求解是很困難的一件事情，那么必須將求解問題策略轉化為用幾何直觀的觀點求解，由于AB =4，于是只要求點P到AB距離d的最大值即可，先固定點P，直徑繞原點0旋轉，過點P作直線AB的垂線，垂足為H，因此PH≤PO，即當PO⊥AB時，PH的最大值為PO，于是問題轉化為求原點0到圓C上點的距離最大值.再利用幾何直觀可得PO≤CO+r，當且僅當點P是OC的延長線與圓c的交點時等號成立，所以s≤1/2AB×（OC+r）=2×（5+1）=12，故Smax= 12.

四、回顧悟道

這組高考改編題屬于動態問題，改編的想法：一是改變三角形中部分或全部頂點的位置，使其由靜態變為動態，如改編7;二是當一邊確定，只要改變頂三個點（動點）所在曲線的形狀，如改編1～4;三是改變結論，如改編5，由三角形的面積范圍求曲線的方程;四是改變三角形的形狀，如改編6，將三角形改為四邊形等等，但重點考查學生的幾何直觀想象能力，充分利用數形結合思想求解，凸顯數學核心素養中的數學抽象、直觀想象、推理證明等.當目標函數困難時，應該學會如何思考，怎樣改變求解思路等等，

五、小試牛刀

（2018年北京卷第7題）在平面直角坐 標系xOy中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線x- my-2=0的距離，當θ，m變化時，d的最大值為（? ）

A.1

B.2

C.3

D.4

（改編1）________________________________________.

（改編2） ______________________.

提示：改變點P所在的曲線方程，如圓改編為橢圓、菱形、正方形等;或者改變動直線方程，如動直線所經過的定點變為（1，2）;也可以已知d的最大值確定曲線方程，如圓變為待定的圓（半徑待定），而已知最大值為4等.