基于距離變換的點群密度識別研究

吳凱，王琛，王長鵬

(1.濟南市勘察測繪研究院，山東 濟南 250013； 2.濟南市國土資源局，山東 濟南 250013)

1 引 言

地理信息系統的應用涉及空間數據多尺度表達的時候，主要采用地圖綜合的方法；以及大比例數據轉化為小比例尺等情況，自動綜合是必不可少的，也是生產小比例尺地圖最直接最有效的方法。空間事物可以從空間變量、幾何形態、物體屬性等幾個方面認識。根據地圖信息論的觀點，點群是傳遞點狀分布所含地理信息的重要載體[1]。地圖上的點群目標有很多，比如呈點狀分布的水體或島嶼群、居民點以及各種呈點狀分布的專題要素等。在地圖空間中，點群的群體特征是表達區域地理景觀的重要知識，它們的結構特征是地理知識、空間知識傳播的基礎，因此，點群的群體特征是地圖自動綜合必須考慮的最基本條件之一[2～7]。

地圖代數是通過對空間內柵格點集進行變換和運算來解決地理信息的圖形符號可視化以及空間分析的新型理論和方法。在范圍上，涉及圖形與圖像，從方法工具而言，既采用了精確的模型方法與工具，又采用了一些統計的、模糊的模型方法與工具。距離變換是在確定特性的尺度下對全空間的度量，是對空間量度性質的總體和全部的把握[8]。本文采用地圖代數柵格途徑，研究基于距離變換的點群密度識別，在空間點群研究中使用地圖代數距離變換方法，可將距離與空間度量的尺度聯系起來，而非僅限于基于數學平面的研究，并討論其在熱點分析中的應用。

2 基本原理

2.1 距離變換及其特性分析

距離在空間分析中是一個非常廣義的概念。它不只是單一的代表兩點間的直線長度，而是被賦予了空間概念下更加豐富的內容。距離變換是將包含實體特征和空間背景的二值圖像轉變成距離圖像的變換，即對二值圖像，將前景中的像素的值轉化為該點到達最近的背景點的距離。在變換后的距離圖像中，每一個像素值表示該像素到離其最近的一個實體像素的距離，具體表現為每個實體的距離波不斷向外空間擴張，直到與鄰近實體的距離波相遇。

距離變換是計算并標識空間點(對參照體)距離的變換或過程。距離變換是在確定特性的尺度下對全空間的度量。外距變換度量實體圖形外的空間，內距變換度量實體圖形本身空間。它是對空間實體量度性質的總體和全局的把握[9]。

距離變換特性有：

(1)各空間點距離數值上的唯一性。

各個空間點到唯一實體點的距離的平方是正確的；

各個空間點到唯一實體點的距離正確且唯一的；

當空間中有n個實體點時，任一個空間點將在變換中得到它與最近實體點的距離(平方)；而當有2個、3個或是若干個實體點到該空間點均為這個最小距離時，則該點即成為距此2點、3點或是若干點的等距點。

(2)平移不變性

指原點群中的點，由于它們是由實體以及相互之間關系決定的，理論上與坐標系關系不大。平移是不變的，具有平移不變性。

(3)局部更動性

當增加或減少新的實體點集時，只與更動“周圍”的實體及其空間有關，這個“周圍”是：對更動點集的點位產生更動距離數值的實體以及面向更動點集一方的空間，這是距離變換的動態特性。

2.2 點群分布密度

根據對點群空間分布特征的現有研究，可將點群空間分布特征的描述指標歸納為：點數、分布密度、分布中心、分布范圍、點群分布模式、分布軸線等。

分布密度描述點的空間分布，是較常用的點群模式空間分布描述方法。點群分布密度，一般是指單位面積上包含的點數，點數越少，密度越少；點數越大，密度則越大。

理論意義上，點群分布密度是指單位分布區域內所含分布對象的數量，是兩個比率尺度數據的比值，因此在計算分布密度時，需要考慮兩個計量問題，一是對分布對象(即分子)的計量，二是對分布區域(即分母)的計量。其分子為分布對象的計量，分母為分布區域的計量。一般對于分子的計量[10]有這樣幾種可能：①對分布對象發生頻數的計量結果；②對分布對象某種屬性的計算結果。在點群研究中，一般以面狀區域的面積作為分母進行分布密度的計算。由于分布的類型不同，分布密度的計量也會有一定的差異。

從分布密度中可以獲得點群分布稀疏程度的信息，比如通過對某一城市內不同區域的商業網點的分布密度進行考察，可以判斷出哪些區域是該城市的商業中心。此外，對同一區域不同時間段內的點群分布密度進行對比研究，可以掌握點群空間對象的分布變化以及不同的分布機制。

3 基于距離變換的點密度圖生成

3.1 方法原理

點群密度圖可以通過密度值來顯示點的聚集情況，比如實際研究中可以通過制作人口密度圖來反映城市人口分布的聚集情況，或根據污染源數據繪制的密度圖來進行城市污染分布情況的分析等。但這種傳統的密度圖求取，主要是基于點數據屬性而生成的，沒有考慮點群中點與點之間的距離關系。

本文便提出運用地圖代數距離變換的思想，在距離尺度上計算點群密度分布圖，其思路為，給定的研究區域為邊界的柵格圖層，給定一個距離R為實體點的影響范圍，在R確定的影響范圍內，隨著距該實體點距離的增加，該區域受實體點的影響力逐漸減小，直至為0(R確定的范圍邊界上)。其計算公式為：

其中，P(i，j)為第i行j列柵格所在位置的權重，即影響力數值；i，j為柵格行列號(i=0，1，…m；j=0，1，…n；其中m，n分別為行列號的最大值)；h為點群中的點號；dij為研究區邊界內第i行j列柵格到實體點的距離。在R確定的影響范圍外，區域受實體點的影響為0，對點群中的所有點均進行此計算，累加求和即可得到點群的分布密度圖，此時，不考慮點群屬性差異，實現原理如圖1所示。

圖1 點密度圖生成示意圖

點狀空間目標的空間分布模式通常可以分為均勻分布、隨機分布和集群分布3種類型。本文運用距離變換的方法對這3種常規的點群分布情況就行密度圖求取，其中隨機分布模式數據為隨機函數生成。

在ArcGIS中通過VBA編程具體實現對空間點群的點密度求取，首先指定一個研究區域為邊界背景，確定生成密度圖柵格圖層的范圍；然后指定半徑R進行密度計算。運用距離變換的方法對該3種常規的點群分布情況就行密度圖求取，得到空間點群分布的密度圖如圖2所示。

圖2 基于距離變換的點密度圖

3.2 與ArcGIS中的密度圖對比實驗

ArcGIS中的密度制圖功能主要是根據輸入的已知點要素的數值及其分布，來計算整個區域的數據分布狀況，從而產生一個連續的表面。它主要是基于點數據生成的，以每個待計算格網點為中心，進行環形區域的搜尋，進而來計算每個格網點的密度值。密度制圖從本質上來講，就是一個通過離散采樣點進行表面內插的過程，根據所使用內插原理的不同，可以分為核函數密度制圖(Kernel)和簡單密度制圖(Simple)。

本文以密度圖為主要研究對象，對同一空間點群數據(圖3(a)所示)，分別使用ArcGIS簡單密度制圖和核密度制圖功能生成點群的簡單密度圖(圖3(b)所示)、不考慮屬性的核密度圖(圖3(c)所示)以及基于距離變換的點群分布密度圖(圖3(d)所示)。

圖3 密度圖對比分析

對于ArcGIS中簡單密度制圖，其原理為：落在搜尋區域內的點或線有同樣的權重，對其進行求和的基礎上，用其統計總數除以搜索區域的大小，從而得到每個點的密度值；在核函數密度制圖中，不同的是落入搜索區內的點具有不同的權重，靠近格網搜尋區域中心的點會被賦予較大的權重，隨著其與格網中心距離的增加權重降低，核密度圖的計算結果分布較平滑。本文是用距離變換圖來模擬受實體點影響的變換程度，通過對距離變換圖進行運算得到密度圖，用實際的影響范圍來研究點群的分布密度。

3.3 密度曲線

對用距離變換思想生成的點密度圖，進行空間填充曲線采樣，得到點群空間分布密度曲線。利用空間填充曲線思想，對生成密度圖(DEM數據)進行重采樣，重新劃分單元格，用曲線填充空間；然后對曲線和作為屬性值的密度值生成平滑曲線(或曲線散點圖)，進而得到二維坐標平面的曲線圖，即點群空間分布密度曲線圖。

柵格數據重采樣是空間分析中處理柵格分辨率匹配問題經常用到的方法。進行特定問題分析時，經常會遇到柵格大小不同的問題，或是分辨率不同的情況，為了便于分析的進行，需要對柵格的大小進行轉化。在此對柵格數據進行重采樣，就是改變柵格的分辨率問題進行柵格的轉化。柵格數據重采樣方法主要包括3種，最鄰近、雙線性和三次卷積采樣方法。不同的重采樣方法，其計算速度和精度有所不同，雖然不同方法得到的柵格值不同，但在合理的誤差范圍。因本文考慮的是整體的分布狀況問題在點群密度曲線研究中對重采樣的精度要求不高，選取最鄰近重采樣方法。可以使用ArcGIS中的柵格數據重采樣工具也可使用MATLAB軟件讀取。兩種方法生成的密度曲線圖走勢相同，僅不同方法所得值不同而已。

密度曲線能反映點群模式的不同分布細節特征，包含常規的3種模式，3種點群分布的空間分布軸線分別表示如圖4所示。均勻分布點群的密度曲線，不同段填充線上值的變化趨勢較均一，同段曲線上不考慮邊界的部分，其數值大致相等，變差小；隨機分布點群的分布軸線，變化趨勢無規律，同段填充線上密度數值變化較大；集聚分布點群的密度曲線，由于集中分布，點群外圍密度值較小，表現在曲線上無太大變化，僅就集中分布區域變化明顯。

圖4 不同分布模式點群密度圖及密度曲線

(1)對于同一幅圖(生成的密度圖)，不同方式的填充曲線，即曲線順序不同，會得到不同密度空間分布曲線，曲線填充方式對點群密度曲線生成是有影響的，以隨機點群分布模式實驗數據為例，不同順序得到的密度曲線圖如圖5所示。

圖5不同填充曲線順序生成的密度曲線

對上述兩種曲線填充方式而言，重采樣后柵格內的密度值是確定的，只因填充曲線走勢不同而使得部分密度曲線呈相反方向展示，對整體研究無影響，在點群空間分布研究中統一填充曲線方式即可。

(2)空間填充曲線格子大小的影響，同一密度圖，不同尺度大小的填充格子，得到的密度曲線不同，均能表達總體空間分布模式。并且可以通過控制格子大小，來度量空間分布模式的細節層次或尺度；以點群均勻分布模式實驗數據為例，對生成的點密度圖運用不同尺度大小的填充格子進行曲線填充，得到不同尺度下的密度曲線。本文基于距離變換生成的點群密度圖，柵格分辨率為1 000，即為1000×1000個柵格。對該柵格數據進行重采樣后，運用空間曲線填充，對空間填充曲線經過的柵格進行排列，在此基礎上通過密度曲線展示密度值的變化情況，圖6分別表示5×5、10×10、20×20柵格分辨率填充格子情況下生成的密度曲線。

圖6 不同填充尺度下生成的密度曲線

由圖6可知，對同一點密度圖(柵格數據)，以不同尺度大小的填充格子進行重采樣后，得到的點群密度曲線均能表達總體空間分布模式。只是隨著格子數目的增加，表示得更詳細。含有更細節的信息。在特定研究中，可以通過控制填充格子的大小，來度量空間分布模式的細節層次。大尺度情況下，可以減少填充格子數目(重采樣分辨率)，方便運算。在較精細尺度下，可以通過增加填充格子的數目來展示細節信息。

(3)在生成點群空間分布密度曲線圖后，即可對地圖綜合前后的點群數據均進行上述處理，均生成密度曲線，進行曲線擬合程度的判斷，判斷曲線吻合程度。由于不同尺度大小的填充格子進行重采樣得到的空間曲線，密度值的量級相同，但空間填充位置的量級不同，為了便于這種不同量級的曲線能夠進行比較，可以將曲線數據按比例縮放，進行曲線標準化，比如統一映射到[0，1]區間上或使之落入一個特定區間，其中圖幅大小無影響。對得到的點群空間分布密度曲線進行判斷，通過判斷曲線的吻合度，可作為評價點群目標地圖綜合效果的指標。

4 在熱點識別中的應用

運用本文提出的方法，對空間點群生成密度分布圖，通過識別灰度圖的峰值來識別熱點分布狀況。

首先對點群生成密度圖，因為直接對密度灰度圖提取最大值或次大值不方便，所以在密度圖上生成密度等值線，通過對等密度線的控制可以分級提取熱點區域如圖7所示。

圖7 熱點區域提取

根據實際研究需要確定等值線的間距，對區域內的不同數值的等密度線進行統計，生成如圖8所示的等密度線數值與個數的變化關系示意圖，其中縱坐標N為不含重疊區的等值線個數，橫坐標H為等密度線數值。

圖8 等密度線個數統計

如圖8所示，根據確定不同的等密度線數值，提取相應不同個數的熱點區域。在圖示中曲線有下降趨勢之前，等密度線數值取7時，可獲得一個熱點區域(圖7(c))，等密度線數值取5.5時，可獲得4個熱點區域(圖7(f))。同理，確定要提取熱點區域的個數，可以根據圖8所示的曲線選擇等值線的值。

橫坐標H為等密度線數值，根據變化曲線可知，取不同等密度值時，可能取得熱點區域個數相同，如圖9(a)和(b)所示，在個數相同的情況下，H值低，則選中熱點區域的范圍較大；在圖8變化曲線中，取H0，H值由最大降到H0過程中，選取的熱點區域個數逐漸增大；H值由H0下降到最小的過程中，所選的熱點區域逐漸變大，且個數減少，直到將所有點包含，最外圍等值線(不含重疊區)個數為1。

圖9 H取值不同確定的等密度線

通過對等值線選取的控制，獲得不同級別的熱點區域，可以由熱點引導來獲取其分布的大致軸線。同時，地理系統是一個開放的系統，在一個熱點區域向周圍區域擴散的過程中，也會受到其他熱點區域擴散作用的影響。比如某種傳染病在周圍區域的擴散效應，就要受到地理環境的非均質性影響，也正是由于這種地理環境的非均質性，其并不是以等同的、均衡的形式向周圍擴散。

5 結 語

點群目標在地圖上有大量的實例，比如成群分布的島嶼以及散列分布的居民地等，因此點群的空間分布特征以及模式識別問題成為空間分析受關注和感興趣的話題。運用距離變換思想生成點群分布的密度圖，是在充分考慮點與點之間的距離關系后，研究點群密度分布情況的一種方法，也為研究點群空間結構特征、地圖自動綜合提供了新的思路。密度曲線方法在熱點識別中的應用，就是其在具體問題中的一種應用探索。