雙分數隨機利率環境下匯率連動期權定價*

劉淑琴 薛 紅

（西安工程大學理學院 西安 710048）

1 引言

當前期權漸漸吸引了國內國外許多投資人的眼球，其定價也越來越引起人們的重視。因此學者們也對不同期權進行了研究，文獻［1～3］分別討論了重置期權，回望期權，亞式期權的定價問題。現匯率連動期權作為期權的一種，是進行全球投資的一種金融期權形式，不僅依賴于外國股票的價格，而且依賴匯率變化。因為國標的資產和匯率的變動都是隨機過程，定價比較困難，所以許多學者對此期權也進行了研究。迄今為止，有關匯率連動期權的研究也有許多，文獻［4～12］主要利用鞅方法和保險精算方法等不同方法分別討論了布朗運動環境下有關匯率連動期權定價模型，并給出了相應的定價公式；以上學者是在布朗運動環境下研究的此期權，然而我們發現，分數布朗運動具有較好的“厚尾”和長程依賴特性，因此用分數布朗運動取代了標準布朗運動。文獻［13～14］利用不同的方法討論了標的資產服從分數布朗運動下匯率期權定價問題；但是近年來，發現雙分數布朗運動沒有獨立性和平穩性，使用范圍比較廣，即可描述平穩又可描述不平穩的現象，比分數運動是更一般的高斯過程。文獻［15］國外學者首次提出了雙分數布朗運動，它是更一般的Gauss過程，它的增量與增量之間無獨立性，無平穩性的特征，相對分數布朗運動適用范圍更加廣泛，所以可以更好地應用到金融市場當中。隨后文獻［16～20］基于雙分數布朗運動驅動環境下討論了各種期權定價模型，結果都優于分數布朗運動環境下的模型。期權定價的方法有多種多樣，但適用范圍較廣，限制因素較少的是由文獻［21］是由 Mogens Bladt與 Tina Hvid Rydberg于1998年第一次提出的保險精算方法。在文獻［22］中閆海峰等人也討論了此方法的優點。文獻［23］中討論了歐式期權和交換期權在隨機利率及O-U過程下的定價方法。基于諸多學者研究的基礎上，因此本文在股價和匯率滿足雙分數隨機利率驅動的隨機微分方程的大前提下，利用此方法推導出匯率連動期權定價公式。

2 金融市場數學模型

假定利率rt，股票價格St，匯率價格 Xt分別滿足隨機微分方程：

其中 a，b，c，μt，σ 為常數，，都為雙分數布朗運動，并且它們的相關系數都為δ。

引理1 隨機微分方程（3）的解為

引理2 隨機微分方程（4）的解為

定義1［20］價格過程在 [t，T]的期望收益率定義為。

引 理 3［23］設 兩 隨 機 變 量 ，，則對任意實數 a，b，c，d，k，有

引 理 4［23］設 三 隨 機 變 量 ，，則 對 任 意 實 數a，b，c，k，有

3 匯率連動期權定價

3.1 第一種匯率連動期權

其中：

證明：首先

由于

其中：

由于

故結論得證。

3.2 第二種匯率連動期權

其中：

證明：首先

則

由于

故結論得證。

4 結語

當前有越來越多的證券投資商以及各種商業銀行發行了匯率連動期權，但由于股價以及匯率的變動都是隨機的變動過程，對其定價相對來說有一定的難度，因此本文利用保險精算進行貼現定價方法在雙分數隨機利率下定價了此種期權，不論金融市場處于以上何種情況，本文給出的匯率連動期權公式都能使用。