二重積分計算公式的一個推導方法

中國勞動關系學院數學與計算機教學部 鄭紅芬 賈屹峰

直角坐標系下二重積分化為二次積分，是重積分的基礎，傳統的方法是通過計算平行截面面積已知立體的體積完成的。在[2]中，采用的坐標系不是常見的，而且推導過程中需要把立體的圖形平面化，使得部分學生難以理解。這里采用生活中常見的切片面包作為實物模型，利用元素法直接計算曲頂柱體的體積，得到二重積分的計算公式，將抽象的知識具體化，并在實際教學過程中得以應用，取得了很好的效果。

根據二重積分的幾何意義，二重積分的計算歸結為求曲頂柱體的體積。圖1 所示的面包外形是曲頂柱體，我們以此為具體的實物模型，計算曲頂柱體的體積。

圖2 是圖1 面包所對應的曲頂柱體。設曲頂所對應的曲面方程為z=f(x，y)，其在xOy面上的投影D是Y型區域，即：

圖1 中的面包是切片面包，在圖2 中，相當于用一組垂直于y軸的平面 截曲頂柱體，將其分割成n個薄曲頂柱體，其中，y0=c，yn=d，且y0＜y1＜…＜yn

如果能夠算出所有面包片的體積V（yi），代入上式，即可求得整個面包的體積V。從圖2 中任取一個薄曲頂柱體，如圖3。

圖3

其中，A(y)是垂直于y軸的平面截曲頂柱體所得的截面積。

如果能夠求出截面積A(y)，代入（7）式，就可以計算出曲頂柱體的體積。為了求截面積A(y)，首先需要知道截面是什么圖形，任取一個面包片，把它的外形畫在黑板上，如圖4。

圖4

圖5

則任一垂直于y軸的平面，截曲頂柱體所得的截面面積為

把上式代入(7)式，可得曲頂柱體的體積

曲頂柱體的體積也就是二重積分的值，進一步可以寫成：

從而，二重積分就化為了二次積分，f(x,y)＜0，上式仍然成立，因此，（15）式就是Y 型區域二重積分的計算公式。

以切片面包輔助推導二重積分計算公式具有非常好的直觀性，學生獲得豐富的感性認識，在把課本上的知識同現實生活結合起來的同時，使得高等數學不再枯燥，激發了學生學習高等數學課程的興趣。