錯位相減求和方法在高中數學教學中的運用探究

林碧智

摘 要 數列是高中數學課程中的重點和難點知識，其在高考中的考查方式多種多樣，其中，運用錯位相減法對數列進行求和是一個非常重要的考查方式。本文先簡單介紹了錯位相減法的背景，并對錯位相減求和在高中數學中的運用做了簡單分析，旨在探究該方法的有效運用。

關鍵詞 錯位相減求和;高中數學;運用探究

中圖分類號：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）13-0184-01

高中數列求和的基本方法有很多，比如：求和公式法，倒序相加法，裂項相消法，錯位相減法，累加法等等。其中，錯位相減法是一種非常重要的、要求學生必須熟練掌握的求和方法，也是高考中的一個熱點內容。現筆者就錯位相減法在高中教材中的設計與其應用進行簡單論述，希望能為廣大數學教師的教學提供一些理論性的支持。

一、錯位相減法的背景

高中階段的教材中，錯位相減法最先出現在推導等比數列前n項和公式的一節中：假設等比數列{an}的公比為q，那么其前n項和就為S_n=a₁+a₂+a₃+……+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+……+a₁q^n-2+a₁q^n-1，此時在該等式兩邊同時乘以公比q，就能得到式子qS_n=a₁q+a₁q²+……+a₁q^n-1+a₁qⁿ，把這兩個式子作差，如果q的值不是1，那么就能得到式子（1-q）S_n=a₁-a₁q ⁿ，從而推導出公式（）。在這個過程中，我們可以在將求和等式兩邊同時乘以一個數，并將得到的新等式和原等式進行作差時，發現如果錯開一位項，那么兩個等式之間就會有一部分是完全相同的，這樣一來，就會更加方便地計算。這樣的方法就是錯位相減法，即錯開一位再進行兩式相減。

二、錯位相減求和方法在高中數學中的運用

（一）運用錯位相減法解決數列求和問題

對于由一個等比數列和一個等差數列的乘積構成的數列，運用錯位相減法進行計算往往是最快捷有效的方法。

例如，在數列{an}中，a_n=（n+1）·10ⁿ，可以明顯看出這個數列是由等差數列b_n=n+1和等比數列c_n=10ⁿ的乘積構成的。那么要求這個數列的前n項和，就可以先列出其前n項和的展開式：S_n=2·10+3·10²+4·10³+……+n·10^n-1+（n+1）·10ⁿ，在此基礎上在等式兩邊同時乘以公比10，就得到了10·S_n=2·10²+3·10³+……+n·10ⁿ+（n+1）·10ⁿ⁺¹，然后進行錯位相減，就能快速求出解。

（二）運用錯位相減法拓展對數列結構的認識

高考的問題往往考查的是綜合性的知識，因此，對于有些靈活性比較高的數列問題，往往需要先去分析數列的結構，有時就會發現這個結構是“換湯不換藥”，依然可以用錯位相減求解。

例如，在問題“設a_n=2n+1，b_n=4ⁿ，S_n=a_nb₁+a_n-1b₂+……+a₂b_n-1+a₁b_n，求S_n”中，因為這個求和等式并不是常見的到按照順序相乘即S_n=a₁b₁+a₂b₂+……+a_n-1b_n-1+a_nb_n的形式，所以很多學生認為這個問題不能再用錯位相減法去進行求解，從而便沒有了思路，覺得無從下手。這時，教師可以引導學生去思考：a_n是否是一個等差數列，b_n是否是一個等比數列，學生都給出了肯定的回答。接著教師再引導，由于等差數列和等比數列的通項公式都已經給出來了，那么是否可以將這些具體數字代入等式中，讓等式更具體明晰一點。這樣一來，學生會發現這種新結構還是可以應用錯位相減法來解決。

（三）錯位相減法的變式應用

很多數列問題具有靈活性，有些數列在錯位相減之間之后會得到另一種形式，就是我們常說的“裂項相消”形式，姑且可以把這種新形式看作是錯位相減法的變式應用。以下是其具體的推導過程和具體應用。

假設數列{a_n}是一個等差數列，數列{b_n}是一個等比數列，由于a_n+1b_n+1=（a_n+d）b_nq=qa_nb_n+dqb_n=a_nb_n+（q-1）a_nb_n+dqb_n，那么通過移項之后，可以得到（q-1）a_nb_n=a_n+1b_n+1-a_nb_n-dqb_n，當時，可以發現，，這樣數列{a_nb_n}就被拆分成了兩個部分，前面的部分明顯可以用裂項相消法進行求和，后面的部分直接用公式求和即可。那么這個形式就可以用來去求解諸如“等差數列{a_n}和等比數列{b_n}的通項分別為a_n=2n+1，b_n=3ⁿ，求數列{a_nb_n}的前n項和”這樣的問題。在求解時，可以直接根據推導公式寫出，這樣一來，等式就被分作了兩個部分，第一個部分明顯可以用裂項相消法來求和，裂項之后可以得到和為T_n=，后面的部分直接用求和公式求解即可。

通過以上對錯位相減法的由來分析和例題探究，我們可以看到錯位相減法的應用是非常靈活且廣泛的。因此，教師在數列教學中一定要注重該方法的講解，并且多去分析實際學情，找到學生容易犯錯的地方，比如學生在做題時往往由于格式不正確導致項數不正確等問題，然后多設置具有針對性的經典問題，讓學生在有效的練習中牢固地掌握錯位相減求和方法。

參考文獻：

[1]王永成.錯位相減求和方法在高中數學教學中的拓展[J].數學學習與研究，2016（07）：93-94.

[2]李志輝.數列求和的幾種常用方法和技巧[J].中國高新區，2018（11）：73.