初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題的解題對策探析

摘 要：本文分析了初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題概況及學(xué)情分析，通過一道典型例題給出具體的解題過程中初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題的解題思路，先確定題型，明確思考方向，分析題目，明確解題思路。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；動點(diǎn)問題；解題對策

一、 問題概況及學(xué)情分析

關(guān)于數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題，即動點(diǎn)型問題。一般來說，是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點(diǎn)，并且這些不同位置下的動點(diǎn)在區(qū)域線段、射線或弧線上進(jìn)行運(yùn)動。嚴(yán)格講，本部分知識點(diǎn)實(shí)際上屬于初中數(shù)學(xué)較為基礎(chǔ)的內(nèi)容，同時也是開放性數(shù)學(xué)問題，這一點(diǎn)與其他大多數(shù)章節(jié)內(nèi)容不同。關(guān)于動點(diǎn)問題，通俗點(diǎn)來理解，就是一種基于數(shù)形結(jié)合思想嵌入下的變化型問題，即空間變換關(guān)系。因為在既定的問題框架體系內(nèi)，各類動點(diǎn)問題的產(chǎn)生一直處于該框架內(nèi)部，其所反映的是一種運(yùn)動變化過程中量與量的變化關(guān)系，本質(zhì)屬于函數(shù)思想。反之，函數(shù)是整個初中數(shù)學(xué)體系中的核心內(nèi)容，很多基礎(chǔ)性的問題均需要借助函數(shù)、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來解決。

總之，初中動點(diǎn)問題是開放類的數(shù)學(xué)題目，所以涉及的知識點(diǎn)也較多，蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想方法。對于我們的初中生來說，本部分內(nèi)容教學(xué)的目標(biāo)更為直接和顯現(xiàn)，即考查學(xué)生獲取數(shù)學(xué)信息以及數(shù)學(xué)思想方法分析問題的能力。與此同時，對于動點(diǎn)問題來說，對學(xué)生提出了既定要求，即考查學(xué)生的邏輯思維和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度。通俗點(diǎn)來理解，即具體問題具體分析，針對動點(diǎn)問題的變化規(guī)律和開放性，確立分類討論、“對癥”解題的既定方略。

二、 初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題與典型題目解題思路

筆者以為，初中生在解題的過程中，首要的一點(diǎn)就是明確思路，有助于學(xué)生盡快進(jìn)入到問題的主方向中來。如何明確思路？因題而異，前文中已經(jīng)講到，動點(diǎn)問題比較開放，無論是出題點(diǎn)還是考查點(diǎn)，均不固定。所以，在審題過程中最先需要認(rèn)清題目，盡量以最快的時間迅速瀏覽和閱讀題目，對已知條件予以標(biāo)記，對隱含條件整理歸納，確定實(shí)際考查的知識點(diǎn)所在，并確定題型。如此一來，即可快速形成大體的解題方向和思考路線。對此，本處以2017年江蘇徐州市中考卷中的一道題為例（原27題）。

如圖1所示，圖中的三角形均為正三角形形，依照圖中7個三角形的順序，將邊長為6的正三角形紙片ABC按以下順序折疊兩次，然后展平，虛線為展平后的折痕，有AD、BE，點(diǎn)O為AD和BE的交點(diǎn)。

以上就是題目本身為學(xué)生提供的所有已知條件，對于學(xué)生而言，需要從中獲取有價值的信息。實(shí)際上，結(jié)合筆者帶領(lǐng)班級為例，在練習(xí)這道題的時候，我們的很多學(xué)生在沒有開始看問題之前，似乎已經(jīng)知道了要考查什么，因為很多問題本身從題目信息中可獲取。

實(shí)際給出的問題：①求AO和OD的數(shù)量關(guān)系，給出理由？②當(dāng)P和N分別為線段BE和線段BC上的動點(diǎn)時，且PN和PD長度之和最小，求BP的長度？若點(diǎn)Q是線段BO上的點(diǎn)，假設(shè)BQ長度為1，求PD+NP+QN長度的最小值？

圖1

首先，第二問和第三問的難度肯定要比第一問難度高。正如開篇所言，必須要明確解題思路，而解題思路則與題目難易有關(guān)。現(xiàn)實(shí)中，很多學(xué)生存在慣性思維。結(jié)合題目的難度遞增，筆者以為，可分為兩種。第一種，就是橫向的難度增加。通俗點(diǎn)來理解，就是指適當(dāng)拓展知識點(diǎn)的考查范圍，并通過問題題設(shè)數(shù)量的增加，讓學(xué)生通過習(xí)題訓(xùn)練、考試來加深并鞏固相關(guān)知識點(diǎn)的理解和認(rèn)知。第二種，則是縱向的難度增加。通俗點(diǎn)來理解，即基于某局域問題，將問題予以深入化。

觀察圖1，在解題中，先確定題型，明確思考方向。對于本題，應(yīng)縱觀全局，胸有成竹。以最快的時間提取問題中的各項有價值信息。

結(jié)合問題，以第一問為例，求點(diǎn)線面的關(guān)系，已知三角形紙片ABC為等邊三角形，所以包括點(diǎn)、線、面及角度的關(guān)系，同樣很清楚。再加上提問方式設(shè)置的巧妙性，即不同線段間的數(shù)量關(guān)系，即倍數(shù)關(guān)系。所以，第一問很簡單，角、線、點(diǎn)的位置均確定，得出OA=2OD。

第二問，明確思路之下，做進(jìn)一步分析。第一問解題過程中的計算步驟，實(shí)際上已經(jīng)屬于已知的條件信息，故可以直接引入、借用。問題本身均不復(fù)雜，但卻沒有給出直接的思考方向，這恰恰是動點(diǎn)型問題開放性屬性的典型呈現(xiàn)。故此，此處應(yīng)虛實(shí)結(jié)合，化險擊破。首先要做輔助點(diǎn)和線，基于題目中提供的關(guān)鍵信息，即固定的點(diǎn)、線、面與未知不確定的點(diǎn)、線。對此，關(guān)鍵突破口在于點(diǎn)D，因為虛實(shí)點(diǎn)和線均是通過點(diǎn)D來確立聯(lián)系。首先，以DD′開始，知道DD′與BE是垂直的關(guān)系，所以得出BD和BD′長度相等。同時又知道三角形ABC為等邊三角形，可以進(jìn)一步推出BDD′也是等邊三角形，直接計算出BN的長度為3/2。借助直角三角形相關(guān)定理，可知BN和PB的數(shù)量關(guān)系，最終求出PB的長度。

第三問是第二問的延伸，只需要照葫蘆畫瓢即可，連接Q′D′，該線段的長度就是答案所在，因為線段長度關(guān)系已經(jīng)確定。

參考文獻(xiàn)：

[1]周龍紅.三角形中的動點(diǎn)問題[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（21）.

作者簡介：

渠秋艷，江蘇省徐州市，江蘇省徐州市豐縣和集初級中學(xué)。