《導數的綜合應用》教學設計

肖奮勇

摘 要 本節的主要內容是利用導數求單調區間，極值，恒成立問題，證明不等式問題。

關鍵詞 利用導數求恒成立問題，證明不等式問題。

中圖分類號：G32??????????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）12-0171-01

一、復習目標

（一）解決恒成立的方法。

（二）證明不等式的方法。

（三）零點問題的解法。

二、教學重、難點

重點：利用導數求恒成立問題，證明不等式問題。源：學

難點：恒成立問題中參數范圍問題

三、教學過程設計

問題一 利用導數研究恒成立問題

設計意圖鞏固恒成立問題的方法

已知函數f（x）=lnx+ax-a²x²（a≥0）.

（1）若x=1是函數y=f（x）的極值點，求a的值;

（2）若f（x）<0在定義域內恒成立，求實數a的取值范圍.

[規律/方法]利用導數解決恒成立問題主要涉及以下方面：

（1）已知不等式在某一區間上恒成立，求參數的取值范圍：一般先分離參數，再轉化為求函數在給定區間上的最值問題求解;

（2）如果無法分離參數可以考慮對參數a或自變量進行分類求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮限制二次項系數或判別式的方法求解.

（3）已知函數的單調性求參數的取值范圍：轉化為f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立的問題.

變式訓練

1.已知函數f（x）=e^x+ax²-e²x.

（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線平行于x軸，求函數f（x）的單調區間;

（2）若x>0時，總有f（x）>-e²x，求實數a的取值范圍.

問題二 利用導數證明不等式問題

設計意圖 使學生鞏固導數證明不等式的方法

已知f（x）=lnx-x+a+1.

（1）若存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范圍;

（2）求證：當x>1時，在（1）的條件下，x²+ax-a>xlnx+成立.

師生活動 學生總結方法，教師補充 構造函數證明不等式的方法

（1）對于（或可化為）左右兩邊結構相同的不等式，構造函數f（x），使原不等式成為形如f（a）>f（b）的形式.

（2）對形如f（x）>g（x）的不等式，構造函數F（x）=f（x）-g（x）.

（3）對于（或可化為）f（x₁，x₂）≥A的不等式，可選x₁（或x₂）為主元，構造函數f（x，x₂）（或f（x₁，x））.

變式訓練2.已知函數f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx-1.

（1）當a=0且b=1時，證明：對?x>0，f（x）≤g（x）;

（2）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍.

問題三 利用導數研究方程的根（或函數的零點）

設計意圖使學生鞏固利用導數研究方程根的方法

已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx.

（1）討論函數F（x）=f（x）-g（x）的單調性;

（2）若方程f（x）=g（x）在區間[，e]上有兩個不等解，求a的取值范圍.

[規律方法]利用導數研究方程根的方法

研究方程根的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據題目要求，畫出函數圖象的走勢規律，標明函數極（最）值的位置，通過數形結合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現.

變式訓練3.已知函數f（x）=（2-a）x-2（1+lnx）+a.

（1）當a=1時，求f（x）的單調區間;[來源：Z*xx*k.Com]

（2）若函數f（x）在區間上無零點，求a的最小值.

師生活動 教師板書小組討論，代表回答，教師糾正。

四、本節小結 證明不等式的方法

（1）對于（或可化為）左右兩邊結構相同的不等式，構造函數f（x），使原不等式成為形如f（a）>f（b）的形式.

（2）對形如f（x）>g（x）的不等式，構造函數F（x）=f（x）-g（x）.

（3）對于（或可化為）f（x₁，x₂）≥A的不等式，可選x₁（或x₂）為主元，構造函數f（x，x₂）（或f（x₁，x））.